Esboce as superfícies de nível de
, para os seguintes
:
(e)
(e)
Passo 1
O enunciado pede para esboçar as superfícies de nível da função
definidas por
nos níveis
. Ou seja, para cada valor de
preciso descrever e dizer como desenhar o conjunto
Informações fornecidas:
- A função é
. - Os valores de
a considerar são . - Deve-se esboçar (descrever geometricamente) cada superfície de nível.
Passo 2
O que é uma superfície de nível (explicação didática e curta aula):
- Para uma função
, a superfície de nível associada a um valor é o conjunto de pontos onde . - Aqui a equação de nível é
- Toda vez que eu transformar essa equação isolando uma variável eu vejo a superfície como gráfico sobre as outras duas (quando permitido). Por exemplo, se
posso escrever
o que ajuda a visualizar o comportamento como função de
e
.
Passo 3
Análise do caso
(passo-a-passo, sem pular etapas):
- Resolver
. Um produto de três números é zero se e somente se pelo menos um dos fatores é zero. Logo
- Em palavras: a superfície de nível
é a união dos três planos coordenados , e . - Como desenhar: desenhar os três planos que cortam o espaço pelas coordenadas (o plano
é , o plano é , o plano é ). Eles se intersectam ao longo dos eixos coordenados e todos se cruzam no ponto .
Passo 4
Análise geral para
: escrever a superfície e entender domínio e assimptotas
- Para
posso escrever
- Observações importantes sobre domínio: essa expressão só faz sentido (como função) quando
. Assim as superfícies não tocam os planos nem ; quando ou se aproxima de zero, (ou seja, a superfície tem “pilares” que vão para o infinito perto desses planos). - Assimptotas e comportamento: quando
ou , tem-se . Portanto a superfície se aproxima do plano afastando-se da origem. Conclusão: as superfícies têm assíntotas nos planos coordenados , (verticalmente) e se aproximam do plano à distância grande. - Simetria: a equação é simétrica por permutar
. Também troca de sinal em variáveis altera o sinal do produto: a distribuição dos sinais de controla onde cada folha da superfície aparece.
Passo 5
Componentes conectados e sinais (por que aparecem várias “folhas” no espaço)
- Para
o produto deve ser positivo. Isso ocorre quando há um número par de sinais negativos: possíveis octantes que contêm pontos da superfície são
ou seja, quatro octantes diferentes. Em cada um desses octantes há uma “folha” contínua da superfície.
- Para
o produto deve ser negativo, então os octantes possíveis são aqueles com número ímpar de negativos:
Também quatro folhas.
- Portanto, para
a superfície tem quatro componentes conectados, cada componente localizada em um octante (dependendo do sinal de ) e cada componente é uma folha que se estende até aproximar-se das três faces do octante (as faces são as interseções com os planos coordenados).
Passo 6
Seções planas (ferramenta prática para o esboço): cortar por planos como
ou
- Interseção com o plano
(onde ): a equação vira
Isto é uma hipérbole retangular no plano
(eixo
e
) — mais familiar se escrever
. Então cada seção por
constante é uma hipérbole, cujo sinal e “abertura” dependem de
.
- Exemplos concretos para fixar a intuição:
- Para
e : ou . Essa hipérbole tem ramos em e em . - Para
e : (hipérbole mais “fechada” que a anterior). - Para
com : (os ramos estão nos quadrantes opostos de -plano).
- Para
- Interseção com o plano
(onde ) dá
outra hipérbole no plano
. Essas seções hiperbólicas são as “pegadas” que ajudam a desenhar cada folha.
Passo 7
Relação entre os diferentes valores
(escala e troca de sinal)
- Se escrever
vê-se que, em termos de forma, a superfície para o valor é a mesma forma da superfície para , apenas escalada em pelo fator :
- Assim a superfície para
é “duas vezes mais alta” (em ) que a de ; para é a de refletida em relação ao plano (troca de sinal); para é reflexão e escala. - Em termos de seções por
: nas hipérboles o parâmetro muda de magnitude e de sinal conforme ; então as hipérboles ficam mais “afastadas” ou trocam ramo positivo/negativo.
Passo 8
Como esboçar na prática (passo-a-passo para fazer um desenho rápido na prova)
- Desenhe os três eixos
e os planos coordenados básicos. - Para
: desenhe os três planos , , . - Para
: escolha um octante de interesse (por exemplo o primeiro octante quando ). - Em uma grade de planos horizontais
(por exemplo ) desenhe as hipérboles no plano . Essas curvas dão a “sombra” da folha naquele plano. - Conecte as hipérboles para formar uma superfície contínua que se aproxima dos planos
e verticalmente (tendem a infinito perto deles) e se aproxima de quando e crescem. - Repita nos outros octantes permitidos pelos sinais (quatro folhas por valor não nulo de
).
Passo 9
Resumo das propriedades úteis para cada
pedido (para usar na prova)
-
: união dos três planos coordenados , , . -
: superfície definida por , não intersecta os planos e ; tem quatro folhas, uma por octante compatível com o sinal de ; cada seção por const é uma hipérbole . - As superfícies para
e para são relacionadas por escala em (multiplicação por ); troca de sinal de reflete a superfície no plano .
Passo 10
Especificação final e curta descrição geométrica para cada valor concreto (pronto para transcrever no desenho)
- Para
: superfície = ou ou (os três planos coordenados). - Para
: superfície = . Quatro folhas nos octantes onde (ex.: primeiro octante ), cada seção dá hipérbole . - Para
: superfície = . Igual à de mas refletida em ; folhas nos octantes com . - Para
: superfície = . Igual à de multiplicada por em (mais afastada do plano ). - Para
: superfície = . Reflexo e escala da de .