Esboce as superfícies de nível de f, para os seguintes c :
(e) f(x, y, z)=x y z, c=0, \pm 1, \pm 2

Passo 1

O enunciado pede para esboçar as superfícies de nível da função f definidas por
f(x,y,z)=xyz
nos níveis c=0,\pm 1,\pm 2. Ou seja, para cada valor de c preciso descrever e dizer como desenhar o conjunto
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid xyz=c\}.
Informações fornecidas:
  • A função é f(x,y,z)=xyz.
  • Os valores de c a considerar são 0,\,\pm 1,\,\pm 2.
  • Deve-se esboçar (descrever geometricamente) cada superfície de nível.

Passo 2

O que é uma superfície de nível (explicação didática e curta aula):
  • Para uma função f(x,y,z), a superfície de nível associada a um valor c é o conjunto de pontos (x,y,z) onde f(x,y,z)=c.
  • Aqui a equação de nível é
xyz=c.
  • Toda vez que eu transformar essa equação isolando uma variável eu vejo a superfície como gráfico sobre as outras duas (quando permitido). Por exemplo, se xy\neq0 posso escrever
z=\frac{c}{xy},
o que ajuda a visualizar o comportamento como função de x e y.

Passo 3

Análise do caso c=0 (passo-a-passo, sem pular etapas):
  • Resolver xyz=0. Um produto de três números é zero se e somente se pelo menos um dos fatores é zero. Logo
\{(x,y,z)\mid xyz=0\}=\{x=0\}\cup\{y=0\}\cup\{z=0\}.
  • Em palavras: a superfície de nível c=0 é a união dos três planos coordenados x=0, y=0 e z=0.
  • Como desenhar: desenhar os três planos que cortam o espaço pelas coordenadas (o plano xy é z=0, o plano xz é y=0, o plano yz é x=0). Eles se intersectam ao longo dos eixos coordenados e todos se cruzam no ponto (0,0,0).

Passo 4

Análise geral para c\neq0: escrever a superfície e entender domínio e assimptotas
  • Para c\neq0 posso escrever
z=\frac{c}{xy}.
  • Observações importantes sobre domínio: essa expressão só faz sentido (como função) quando xy\neq0. Assim as superfícies não tocam os planos x=0 nem y=0; quando x ou y se aproxima de zero, |z|\to\infty (ou seja, a superfície tem “pilares” que vão para o infinito perto desses planos).
  • Assimptotas e comportamento: quando |x|\to\infty ou |y|\to\infty, tem-se z\to0. Portanto a superfície se aproxima do plano z=0 afastando-se da origem. Conclusão: as superfícies têm assíntotas nos planos coordenados x=0, y=0 (verticalmente) e se aproximam do plano z=0 à distância grande.
  • Simetria: a equação é simétrica por permutar x,y,z. Também troca de sinal em variáveis altera o sinal do produto: a distribuição dos sinais de x,y,z controla onde cada folha da superfície aparece.

Passo 5

Componentes conectados e sinais (por que aparecem várias “folhas” no espaço)
  • Para c>0 o produto xyz deve ser positivo. Isso ocorre quando há um número par de sinais negativos: possíveis octantes que contêm pontos da superfície são
(+,+,+),\;(-,-,+),\;(-,+,-),\;(+,-,-),
ou seja, quatro octantes diferentes. Em cada um desses octantes há uma “folha” contínua da superfície.
  • Para c<0 o produto deve ser negativo, então os octantes possíveis são aqueles com número ímpar de negativos:
(+,+,-),\;(+,-,+),\;(-,+,+),\;(-,-,-).
Também quatro folhas.
  • Portanto, para c\neq0 a superfície tem quatro componentes conectados, cada componente localizada em um octante (dependendo do sinal de c) e cada componente é uma folha que se estende até aproximar-se das três faces do octante (as faces são as interseções com os planos coordenados).

Passo 6

Seções planas (ferramenta prática para o esboço): cortar por planos como y=k ou z=k
  • Interseção com o plano y=k (onde k\neq0): a equação vira
x z = \frac{c}{k}.
Isto é uma hipérbole retangular no plano x z (eixo x e z) — mais familiar se escrever z=\dfrac{c}{k}\cdot \dfrac{1}{x}. Então cada seção por y= constante é uma hipérbole, cujo sinal e “abertura” dependem de \dfrac{c}{k}.
  • Exemplos concretos para fixar a intuição:
    • Para c=1 e y=1: xz=1 ou z=1/x. Essa hipérbole tem ramos em x>0,z>0 e em x<0,z<0.
    • Para c=1 e y=2: z=\dfrac{1}{2x} (hipérbole mais “fechada” que a anterior).
    • Para y=-1 com c=1: z=-1/x (os ramos estão nos quadrantes opostos de xz-plano).
  • Interseção com o plano z=k (onde k\neq0) dá
xy=\frac{c}{k},
outra hipérbole no plano xy. Essas seções hiperbólicas são as “pegadas” que ajudam a desenhar cada folha.

Passo 7

Relação entre os diferentes valores c=\pm1,\pm2 (escala e troca de sinal)
  • Se escrever z=\dfrac{c}{xy} vê-se que, em termos de forma, a superfície para o valor c é a mesma forma da superfície para 1, apenas escalada em z pelo fator c:
z=\frac{c}{xy}=c\cdot\left(\frac{1}{xy}\right).
  • Assim a superfície para c=2 é “duas vezes mais alta” (em z) que a de c=1; para c=-1 é a de c=1 refletida em relação ao plano z=0 (troca de sinal); para c=-2 é reflexão e escala.
  • Em termos de seções por y=k: nas hipérboles xz=\dfrac{c}{k} o parâmetro \dfrac{c}{k} muda de magnitude e de sinal conforme c; então as hipérboles ficam mais “afastadas” ou trocam ramo positivo/negativo.

Passo 8

Como esboçar na prática (passo-a-passo para fazer um desenho rápido na prova)
  1. Desenhe os três eixos x,y,z e os planos coordenados básicos.
  2. Para c=0: desenhe os três planos x=0, y=0, z=0.
  3. Para c\neq0: escolha um octante de interesse (por exemplo o primeiro octante x>0,y>0,z>0 quando c>0).
  4. Em uma grade de planos horizontais y=k (por exemplo k=1,2) desenhe as hipérboles z=\dfrac{c}{k}\cdot\dfrac{1}{x} no plano x z. Essas curvas dão a “sombra” da folha naquele plano.
  5. Conecte as hipérboles para formar uma superfície contínua que se aproxima dos planos x=0 e y=0 verticalmente (tendem a infinito perto deles) e se aproxima de z=0 quando |x| e |y| crescem.
  6. Repita nos outros octantes permitidos pelos sinais (quatro folhas por valor não nulo de c).

Passo 9

Resumo das propriedades úteis para cada c pedido (para usar na prova)
  • c=0: união dos três planos coordenados x=0, y=0, z=0.
  • c\neq0: superfície definida por z=\dfrac{c}{xy}, não intersecta os planos x=0 e y=0; tem quatro folhas, uma por octante compatível com o sinal de c; cada seção por y=const é uma hipérbole xz=\dfrac{c}{y}.
  • As superfícies para c e para \lambda c são relacionadas por escala em z (multiplicação por \lambda); troca de sinal de c reflete a superfície no plano z=0.

Passo 10

Especificação final e curta descrição geométrica para cada valor concreto (pronto para transcrever no desenho)
  • Para c=0: superfície = x=0 ou y=0 ou z=0 (os três planos coordenados).
  • Para c=1: superfície = z=\dfrac{1}{xy}. Quatro folhas nos octantes onde xyz>0 (ex.: primeiro octante (+,+,+)), cada seção y=k dá hipérbole xz=\dfrac{1}{k}.
  • Para c=-1: superfície = z=-\dfrac{1}{xy}. Igual à de c=1 mas refletida em z=0; folhas nos octantes com xyz<0.
  • Para c=2: superfície = z=\dfrac{2}{xy}. Igual à de c=1 multiplicada por 2 em z (mais afastada do plano z=0).
  • Para c=-2: superfície = z=-\dfrac{2}{xy}. Reflexo e escala da de c=1.

Resposta

c=0: \{(x,y,z)\mid xyz=0\}=\{x=0\}\cup\{y=0\}\cup\{z=0\} (os três planos coordenados).
c=1: z=\dfrac{1}{xy}; quatro folhas, cada seção y=k dá a hipérbole xz=\dfrac{1}{k}.
c=-1: z=-\dfrac{1}{xy}; mesma forma de c=1 refletida em z=0, folhas nos octantes de produto negativo.
c=2: z=\dfrac{2}{xy}; igual a c=1 escalada por 2 em z.
c=-2: z=-\dfrac{2}{xy}; igual a c=2 refletida em z=0.

Exercícios relacionados