Esboce as superfícies de nível de f, para os seguintes c :
(f) f(x, y, z)=e^{-\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}, c=0, \pm 1, \pm 2

Passo 1

O enunciado pede: esboçar as superfícies de nível de f para os valores c=0,\pm1,\pm2. As informações fornecidas:
  • A função é f(x,y,z)=e^{-\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}.
  • Precisamos analisar os conjuntos \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid f(x,y,z)=c\} para cada c listado.
  • Não há figura adicional: só temos a expressão analítica de f.

Passo 2

Entender o comportamento de f. Defina o raio radial
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
Como x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}, a função depende apenas de r:
f(x,y,z)=e^{-r^{2}}.
Isto mostra que f é radial (simétrica esfericamente) — valores de f só dependem da distância ao centro r. Portanto as superfícies de nível são superfícies geométricas com simetria esférica (esferas centradas na origem) ou conjuntos degenerados (ponto vazio ou ponto).

Passo 3

Determinar o intervalo de valores possíveis de f. Como r^{2}\ge 0, temos -r^{2}\le 0 e, portanto,
0<e^{-r^{2}}\le 1.
Explicando: quando r=0 obtemos e^{0}=1; quando r\to\infty o expoente vai para -\infty e e^{-r^{2}}\to 0^{+}. Logo o contradomínio (valores possíveis) de f é (0,1]. Conclusões importantes:
  • Qualquer c\le 0 ou c>1 não é atingido por f (não existem pontos com esse valor).
  • Para 0<c\le 1 haverá solução; para c=0 não existe ponto com f=0 (apenas limite).

Passo 4

Resolver a equação de nível geral f(x,y,z)=c quando possível. Começamos com
e^{-r^{2}}=c.
Aplicando logaritmo natural (observando que isto só faz sentido se c>0):
-r^{2}=\ln c \quad\Rightarrow\quad r^{2}=-\ln c.
Portanto, quando 0<c\le 1, o raio da superfície de nível é
r=\sqrt{-\ln c}.
Interpretação prática: para cada c em (0,1] a superfície de nível é a esfera centrada na origem com raio r=\sqrt{-\ln c}. Para c=1 obtemos r=0 (ponto na origem). Para c\to 0^{+} o raio \sqrt{-\ln c}\to\infty, ou seja, não há esfera finita correspondente a c=0.

Passo 5

Aplicar isso aos valores específicos pedidos:
  • Para c=1: temos r=\sqrt{-\ln 1}=\sqrt{0}=0. Resultado: a superfície de nível é apenas o ponto (0,0,0).
  • Para c=0: c não pertence ao contradomínio de f (pois f>0 em todos os pontos). Então não existe ponto com f=0; a superfície de nível é o conjunto vazio. (No sentido de limite, as esferas correspondentes a valores c\to 0^{+} têm raio tendendo a \infty, mas não há ponto com f=0.)
  • Para c=-1 e c=-2: são negativos, portanto impossíveis, pois f>0. Logo não há superfície de nível (conjunto vazio).
  • Para c=2: 2>1, também impossível porque f\le 1. Logo não há superfície de nível (conjunto vazio).

Passo 6

Resumo geométrido e dica de esboço:
  • Todas as superfícies de nível não vazias são esferas centradas na origem.
  • Para qualquer c com 0<c<1, a esfera tem raio r=\sqrt{-\ln c}. Exemplo didático: se c=e^{-1} então r=1 (isto é, a esfera unidade).
  • No caso da lista dada, só c=1 produz uma superfície não vazia — que é o ponto central — e os outros c fornecidos não produzem superfícies de nível (ou seja, são vazios), exceto que valores positivos menores que 1 gerariam esferas de raio finito.

Resposta

c=1: conjunto \{(0,0,0)\} (ponto na origem).\n
c=0: nenhum ponto — superfície de nível vazia (limite c\to0^{+} corresponde a esferas de raio tendendo a \infty).\n
c=-1: nenhum ponto — superfície de nível vazia.\n
c=2: nenhum ponto — superfície de nível vazia.\n
c=-2: nenhum ponto — superfície de nível vazia.

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