Esboce as superfícies de nível de
, para os seguintes
:
(f)
(f)
Passo 1
O enunciado pede: esboçar as superfícies de nível de
para os valores
. As informações fornecidas:
- A função é
. - Precisamos analisar os conjuntos
para cada listado. - Não há figura adicional: só temos a expressão analítica de
.
Passo 2
Entender o comportamento de
. Defina o raio radial
Como
, a função depende apenas de
:
Isto mostra que
é radial (simétrica esfericamente) — valores de
só dependem da distância ao centro
. Portanto as superfícies de nível são superfícies geométricas com simetria esférica (esferas centradas na origem) ou conjuntos degenerados (ponto vazio ou ponto).
Passo 3
Determinar o intervalo de valores possíveis de
. Como
, temos
e, portanto,
Explicando: quando
obtemos
; quando
o expoente vai para
e
. Logo o contradomínio (valores possíveis) de
é
. Conclusões importantes:
- Qualquer
ou não é atingido por (não existem pontos com esse valor). - Para
haverá solução; para não existe ponto com (apenas limite).
Passo 4
Resolver a equação de nível geral
quando possível. Começamos com
Aplicando logaritmo natural (observando que isto só faz sentido se
):
Portanto, quando
, o raio da superfície de nível é
Interpretação prática: para cada
em
a superfície de nível é a esfera centrada na origem com raio
. Para
obtemos
(ponto na origem). Para
o raio
, ou seja, não há esfera finita correspondente a
.
Passo 5
Aplicar isso aos valores específicos pedidos:
- Para
: temos . Resultado: a superfície de nível é apenas o ponto . - Para
: não pertence ao contradomínio de (pois em todos os pontos). Então não existe ponto com ; a superfície de nível é o conjunto vazio. (No sentido de limite, as esferas correspondentes a valores têm raio tendendo a , mas não há ponto com .) - Para
e : são negativos, portanto impossíveis, pois . Logo não há superfície de nível (conjunto vazio). - Para
: , também impossível porque . Logo não há superfície de nível (conjunto vazio).
Passo 6
Resumo geométrido e dica de esboço:
- Todas as superfícies de nível não vazias são esferas centradas na origem.
- Para qualquer
com , a esfera tem raio . Exemplo didático: se então (isto é, a esfera unidade). - No caso da lista dada, só
produz uma superfície não vazia — que é o ponto central — e os outros fornecidos não produzem superfícies de nível (ou seja, são vazios), exceto que valores positivos menores que gerariam esferas de raio finito.