Esboce o gráfico das seguintes funções, utilizando as curvas de nível de f :
(m) z=y^{3}

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função z=y^{3} utilizando as curvas de nível de f.
Informações dadas:
  • A função é f(x,y)=z=y^{3}.
  • Não há dependência de x: o valor de z depende só de y.
  • O que se pede é usar curvas de nível (níveis constantes de z) para ajudar a desenhar a superfície no espaço (x,y,z).

Passo 2

O que são curvas de nível e como calculá-las aqui.
Definição útil: uma curva de nível de nível c é o conjunto de pontos (x,y) tais que f(x,y)=c. Em notação,
\{(x,y)\mid f(x,y)=c\}.
Aplicando isso à função dada:
f(x,y)=y^{3}=c.
Para cada constante c resolvemos para y:
y=\sqrt[3]{c}.
Logo, para cada c fixo a curva de nível no plano (x,y) é a reta
y=\sqrt[3]{c},
ou seja, uma reta paralela ao eixo x localizada na altura y=\sqrt[3]{c}.

Passo 3

Interpretação geométrica das curvas de nível.
  • Como y=\sqrt[3]{c} não depende de x, todas as curvas de nível são retas paralelas ao eixo x.
  • Para c=0 a curva de nível é y=0 (reta no eixo x).
  • Para c=1 a curva é y=1; para c=8 a curva é y=2 (pois \sqrt[3]{8}=2).
  • Para c=-1 a curva é y=-1; para c=-8 a curva é y=-2.
  • À medida que c varia monotonamente, as retas vão subindo ou descendo no plano xy de acordo com y=\sqrt[3]{c}. A relação entre c e y é a raiz cúbica, que é monótona crescente, mas não linear.

Passo 4

Como as curvas de nível ajudam a construir o gráfico 3D da superfície.
  • Para um c fixo, a curva de nível y=\sqrt[3]{c} no plano xy corresponde, no espaço, ao conjunto de pontos (x,y,z) com y=\sqrt[3]{c} e z=c. Ou seja, é uma reta paralela ao eixo x localizada na altura z=c.
  • Portanto, a superfície é formada por um “empilhamento” dessas retas paralelas ao eixo x: cada nível z=c tem uma reta em y=\sqrt[3]{c}.
  • Outra visão: cortar a superfície por um plano x= constante (por exemplo x=0) dá a curva no plano yz dada por
z=y^{3},
que é a curva cúbica usual (função ímpar, passa pela origem, com tangente horizontal em y=0 porque dz/dy=3y^{2} e dz/dy(0)=0). A superfície é essa curva em yz “extrudada” (replicada) em todas as direções do eixo x — por isso chama-se um cilindro (mais precisamente um cilindro gerado por uma curva) paralelo ao eixo x.

Passo 5

Descrição do esboço passo a passo (como desenhar na folha):
  1. Desenhe um sistema de eixos 3D: eixo x horizontal saindo para a direita, eixo y horizontal apontando para trás/à esquerda (oupara a direita se preferir), eixo z vertical para cima.
  2. No plano x=0 (plano yz) desenhe a curva z=y^{3}. Para orientar o desenho calcule alguns pontos:
\begin{aligned} y=-2 &\Rightarrow z=-8,\\\ y=-1 &\Rightarrow z=-1,\\\ y=-\tfrac12 &\Rightarrow z=-\tfrac18,\\\ y=0 &\Rightarrow z=0,\\\ y=\tfrac12 &\Rightarrow z=\tfrac18,\\\ y=1 &\Rightarrow z=1,\\\ y=2 &\Rightarrow z=8. \end{aligned}
Esses pontos mostram que a curva sobe lentamente perto de y=0 (tangente horizontal) e cresce rápido para |y| grandes.
3. Repita essa curva para vários planos x= constante (ou imagine que a curva do plano yz se estende indefinidamente ao longo do eixo x). O resultado é uma “fatia cúbica” que se estende paralelamente ao eixo x.
4. Para usar diretamente as curvas de nível: desenhe várias retas paralelas ao eixo x no plano xy em alturas y=-2,-1,-\tfrac12,0,\tfrac12,1,2. Identifique em cada uma a altura z=y^{3}. No esboço 3D, cada uma dessas retas ficará na altura vertical correspondente, formando o mesmo cilindro.

Passo 6

Características importantes para marcar no esboço e usar na prova:
  • A superfície é independente de x: para qualquer x fixo a seção dá a mesma curva z=y^{3}.
  • Interseções simples:
    • Interseção com o plano y=0: \,z=0, ou seja, o eixo x (reta no plano z=0).
    • Interseção com planos y=y_{0} (constante): são retas horizontais em z=y_{0}^{3}, paralelas ao eixo x.
    • Interseção com planos x=x_{0}: são as curvas z=y^{3} no plano yz.
  • Tangente horizontal no ponto (x,0,0) em qualquer x, porque \partial z/\partial y(0)=0. Isso aparece como a curva no plano yz tendo tangente horizontal em y=0.

Resposta

A superfície é um “cilindro” gerado pela curva z=y^{3} no plano yz, estendido ao longo do eixo x. As curvas de nível são as retas
y=\sqrt[3]{c},
paralelas ao eixo x, localizadas na altura y=\sqrt[3]{c} para cada nível z=c.

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