Esboce o gráfico das seguintes funções, utilizando as curvas de nível de
:
(m)
(m)
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
utilizando as curvas de nível de
.
Informações dadas:
- A função é
. - Não há dependência de
: o valor de depende só de . - O que se pede é usar curvas de nível (níveis constantes de
) para ajudar a desenhar a superfície no espaço .
Passo 2
O que são curvas de nível e como calculá-las aqui.
Definição útil: uma curva de nível de nível
é o conjunto de pontos
tais que
. Em notação,
Aplicando isso à função dada:
Para cada constante
resolvemos para
:
Logo, para cada
fixo a curva de nível no plano
é a reta
ou seja, uma reta paralela ao eixo
localizada na altura
.
Passo 3
Interpretação geométrica das curvas de nível.
- Como
não depende de , todas as curvas de nível são retas paralelas ao eixo . - Para
a curva de nível é (reta no eixo ). - Para
a curva é ; para a curva é (pois ). - Para
a curva é ; para a curva é . - À medida que
varia monotonamente, as retas vão subindo ou descendo no plano de acordo com . A relação entre e é a raiz cúbica, que é monótona crescente, mas não linear.
Passo 4
Como as curvas de nível ajudam a construir o gráfico 3D da superfície.
- Para um
fixo, a curva de nível no plano corresponde, no espaço, ao conjunto de pontos com e . Ou seja, é uma reta paralela ao eixo localizada na altura . - Portanto, a superfície é formada por um “empilhamento” dessas retas paralelas ao eixo
: cada nível tem uma reta em . - Outra visão: cortar a superfície por um plano
constante (por exemplo ) dá a curva no plano dada por
que é a curva cúbica usual (função ímpar, passa pela origem, com tangente horizontal em
porque
e
). A superfície é essa curva em
“extrudada” (replicada) em todas as direções do eixo
— por isso chama-se um cilindro (mais precisamente um cilindro gerado por uma curva) paralelo ao eixo
.
Passo 5
Descrição do esboço passo a passo (como desenhar na folha):
- Desenhe um sistema de eixos 3D: eixo
horizontal saindo para a direita, eixo horizontal apontando para trás/à esquerda (oupara a direita se preferir), eixo vertical para cima. - No plano
(plano ) desenhe a curva . Para orientar o desenho calcule alguns pontos:
Esses pontos mostram que a curva sobe lentamente perto de
(tangente horizontal) e cresce rápido para
grandes.
3. Repita essa curva para vários planos constante (ou imagine que a curva do plano
se estende indefinidamente ao longo do eixo
). O resultado é uma “fatia cúbica” que se estende paralelamente ao eixo
.
4. Para usar diretamente as curvas de nível: desenhe várias retas paralelas ao eixo no plano
em alturas
. Identifique em cada uma a altura
. No esboço 3D, cada uma dessas retas ficará na altura vertical correspondente, formando o mesmo cilindro.
3. Repita essa curva para vários planos
4. Para usar diretamente as curvas de nível: desenhe várias retas paralelas ao eixo
Passo 6
Características importantes para marcar no esboço e usar na prova:
- A superfície é independente de
: para qualquer fixo a seção dá a mesma curva . - Interseções simples:
- Interseção com o plano
: , ou seja, o eixo (reta no plano ). - Interseção com planos
(constante): são retas horizontais em , paralelas ao eixo . - Interseção com planos
: são as curvas no plano .
- Interseção com o plano
- Tangente horizontal no ponto
em qualquer , porque . Isso aparece como a curva no plano tendo tangente horizontal em .
Resposta
A superfície é um “cilindro” gerado pela curva
no plano
, estendido ao longo do eixo
. As curvas de nível são as retas
paralelas ao eixo
, localizadas na altura
para cada nível
.