Esboce o traço da curva C determinada pela função vetorial \mathbf{r}(t), sendo:
(a) \mathbf{r}(t)=3 t \mathbf{i}+\left(1-9 t^{2}\right) \mathbf{j}, \quad t \in \mathbb{R}
(b) \mathbf{r}(t)\left(1-t^{2}\right) \mathbf{i}+t \mathbf{j}, \quad t \in \mathbb{R}
(c) \mathbf{r}(t)=(2+\cos t) \mathbf{i}-(3-\sin t) \mathbf{j}, t \in[0,2 \pi]
(d) \mathbf{r}(t)=t \mathbf{i}-3 \sin t \mathbf{j}+3 \cos t \mathbf{k}, \quad t \geq 0
(e) \mathbf{r}(t)=t \mathbf{i}+4 \cos t \mathbf{j}+9 \sin t \mathbf{k}, \quad t \geq 0
(f) \mathbf{r}(t)=\tan t \mathbf{i}+\operatorname{sec} t \mathbf{j}+2 \mathbf{k}, \quad|t| \leq \pi / 2

Passo 1

O que o enunciado pede: esboçar o traço da curva C dada por cada função vetorial \mathbf{r}(t) nos itens (a) a (f). Para cada item temos as informações abaixo (copiadas do enunciado):
(a) \displaystyle \mathbf{r}(t)=3t\,\mathbf{i}+\bigl(1-9t^{2}\bigr)\,\mathbf{j},\quad t\in\mathbb{R}.
(b) \displaystyle \mathbf{r}(t)=\bigl(1-t^{2}\bigr)\,\mathbf{i}+t\,\mathbf{j},\quad t\in\mathbb{R}.
(c) \displaystyle \mathbf{r}(t)=(2+\cos t)\,\mathbf{i}-(3-\sin t)\,\mathbf{j},\quad t\in[0,2\pi].
(d) \displaystyle \mathbf{r}(t)=t\,\mathbf{i}-3\sin t\,\mathbf{j}+3\cos t\,\mathbf{k},\quad t\ge 0.
(e) \displaystyle \mathbf{r}(t)=t\,\mathbf{i}+4\cos t\,\mathbf{j}+9\sin t\,\mathbf{k},\quad t\ge 0.
(f) \displaystyle \mathbf{r}(t)=\tan t\,\mathbf{i}+\operatorname{sec} t\,\mathbf{j}+2\,\mathbf{k},\quad |t|\le \pi/2.
Informações relevantes já anotadas: componentes de cada \mathbf{r}(t) (as coordenadas x,y,z em função de t) e os domínios de t. A seguir vou, passo a passo, eliminar o parâmetro quando fizer sentido, identificar a curva (tipo geométrico), indicar pontos importantes e dizer a orientação (sentido em que a curva é percorrida quando t aumenta). Vou também explicar as ideias usadas (eliminação de parâmetro, identificação de cônicas, hélice) com calma e exemplos.

Passo 2

(a) Identificação e eliminação do parâmetro — aula rápida sobre eliminar parâmetro:
  • Técnica: se as componentes são x=f(t) e y=g(t), resolvo uma para t (ou aplico identidades trigonométricas/algebricas) e substituo para obter uma relação F(x,y)=0 — essa é a equação cartesiana da curva.
  • Orientação: para saber o sentido do traço, calculo \mathbf{r}'(t) e vejo como x e y variam quando t aumenta.
Aplicando ao item (a):
  • Temos x=3t e y=1-9t^{2}.
  • Da primeira equação, isolamos t: \displaystyle t=\frac{x}{3}.
  • Substituindo na segunda:
y=1-9\left(\frac{x}{3}\right)^{2}=1-x^{2}.
  • Conclusão: a curva é a parábola em plano xy com equação \displaystyle y=1-x^{2} (parábola com concavidade para baixo, vértice em (0,1)).
  • Orientação: como x=3t, quando t aumenta x aumenta; portanto o traço é percorrido da esquerda para a direita (ou seja, conforme t cresce vamos atravessando a parábola de x negativo para x positivo). Pontos notáveis: t=0\Rightarrow(0,1) (vértice); t=1\Rightarrow(3,-8); t=-1\Rightarrow(-3,-8).
  • Dica prática na prova: isole sempre uma componente que dê t facilmente (aqui x) — facilita a eliminação.

Passo 3

(b) Eliminação e análise:
  • Componentes: x=1-t^{2} e y=t.
  • Isolamos t pela segunda: \displaystyle t=y.
  • Substituindo na primeira:
x=1-y^{2}.
  • Conclusão: é uma parábola no plano xy com equação \displaystyle x=1-y^{2}. Essa parábola abre para a esquerda (porque x diminui quando |y| cresce), vértice em (1,0).
  • Orientação: como y=t, quando t aumenta y aumenta, então a curva é percorrida no sentido de y crescente — isto é, subimos ao longo da parábola (do y negativo para o y positivo). Pontos notáveis: t=0\Rightarrow(1,0) (vértice); t=1\Rightarrow(0,1); t=-1\Rightarrow(0,-1).
  • Observação didática: comparar com (a): antes isolámos t em x, aqui isolamos em y; sempre escolha a componente que isola t diretamente.

Passo 4

(c) Eliminação e identificação de círculo — breve revisão de parametrização de círculo:
  • Parametrização padrão de um círculo de centro (a,b) e raio R é \displaystyle x=a+R\cos t,\; y=b+R\sin t. Se aparecer algo desse tipo, é círculo.
Aplicando:
  • Escrever as componentes: x=2+\cos t e y=-(3-\sin t)=-3+\sin t.
  • Então x-2=\cos t e y+3=\sin t.
  • Somando os quadrados (identidade \cos^{2}t+\sin^{2}t=1):
(x-2)^{2}+(y+3)^{2}=1.
  • Conclusão: é um círculo de centro (2,-3) e raio 1.
  • Orientação: como usamos \cos t para x-2 e \sin t para y+3, o parâmetro t é exatamente o ângulo padrão; então, quando t aumenta de 0 a 2\pi, percorremos o círculo uma vez no sentido anti-horário (orientação padrão). Pontos importantes: t=0\Rightarrow(3,-3), t=\pi/2\Rightarrow(2,-2), t=\pi\Rightarrow(1,-3), t=3\pi/2\Rightarrow(2,-4).
  • Dica visual: marque o centro e os quatro pontos principais para esboçar rápido.

Passo 5

(d) Hélice ao redor do eixo x — como reconhecer hélices:
  • Se x é função linear x=t (ou afim) e as outras duas coordenadas formam uma parametrização circular ( \alpha\cos t,\\ \alpha\sin t ou com deslocamentos), então a curva é uma hélice (ou fio helicoidal) ao longo do eixo x. Em geral, combinação de movimento de translação ao longo de um eixo + rotação circular dá hélice.
Aplicando ao item (d):
  • Componentes: x=t,\; y=-3\sin t,\; z=3\cos t.
  • Observe que
y^{2}+z^{2}=9\sin^{2}t+9\cos^{2}t=9,
ou seja,
y^{2}+z^{2}=3^{2}.
  • Conclusão: para cada x fixo (cada valor de t) o par (y,z) está sobre um círculo de raio 3 no plano yz. Como x cresce com t, o resultado é uma hélice de raio 3 em torno do eixo x.
  • Orientação: quando t aumenta, x aumenta (vai para a direita) e o par (y,z) descreve um círculo de frequência angular 1. Ponto inicial t=0\Rightarrow(0,0,3). Para visualizar o sentido de rotação, considere os pontos em alguns t (por exemplo, t=\pi/2\Rightarrow(\pi/2,-3,0)); assim você vê como o círculo é percorrido à medida que t cresce.
  • Dica: desenhe primeiro a projeção no plano yz (um círculo), depois “estique” esse círculo ao longo de x para obter a hélice.

Passo 6

(e) Hélice elíptica (hélice com seção elíptica) — conceito:
  • Se x=t e as outras componentes são do tipo A\cos t e B\sin t com A\ne B, então a projeção no plano perpendicular ao eixo é uma elipse, e a curva espacial é uma hélice que tem secção elíptica.
Aplicando ao item (e):
  • Componentes: x=t,\; y=4\cos t,\; z=9\sin t.
  • Verificando a relação entre y e z:
\left(\frac{y}{4}\right)^{2}+\left(\frac{z}{9}\right)^{2}=\cos^{2}t+\sin^{2}t=1,
ou seja,
\frac{y^{2}}{4^{2}}+\frac{z^{2}}{9^{2}}=1.
  • Conclusão: a projeção no plano yz é a elipse de semi-eixos 4 (em y) e 9 (em z); como x cresce com t, a curva é uma hélice cujo “fio” descreve essa elipse repetidamente enquanto se desloca no eixo x.
  • Orientação: x cresce com t, a elipse é percorrida com velocidade angular 1 nas componentes trigonométricas. Ponto inicial t=0\Rightarrow(0,4,0).
  • Na prova: para esboçar, primeiro desenhe a elipse no plano yz e depois “carimbe” cópias ao longo do eixo x mostrando a progressão.

Passo 7

(f) Relação entre \tan e \operatorname{sec}, domínio e forma da curva — lembrete trigonométrico:
  • Identidade fundamental: \displaystyle \operatorname{sec}^{2}t=1+\tan^{2}t.
  • Isso permite eliminar t quando aparecem \tan e \operatorname{sec}.
Aplicando:
  • Componentes: x=\tan t,\; y=\operatorname{sec} t,\; z=2.
  • Usando a identidade:
y^{2}= \operatorname{sec}^{2}t = 1+\tan^{2}t = 1+x^{2}.
  • Portanto a relação cartesiana é
y^{2}=1+x^{2},\qquad z=2.
  • Observação sobre domínio: o enunciado deu |t|\le \pi/2, mas \tan t e \operatorname{sec} t não são definidas em t=\pm \pi/2 (porque \cos(\pm\pi/2)=0). Assim o domínio correto da parametrização é |t|<\pi/2 (intervalo aberto nos extremos). Com esse domínio, x=\tan t varre todo \mathbb{R} e y=\operatorname{sec} t é sempre \ge 1 (porque em |t|<\pi/2 temos \cos t>0\Rightarrow \operatorname{sec} t\ge 1).
  • Conclusão: a curva é a ramo superior da hipérbole (no sentido de que y=\sqrt{1+x^{2}}) contida no plano horizontal z=2. Como x=\tan t é estritamente crescente no intervalo, a curva é percorrida da esquerda para a direita quando t aumenta (isto é, x cresce com t).
  • Dica prática: sempre cheque se o domínio declarado contém pontos onde a parametrização é indefinida (aqui detectamos \pm\pi/2).

Resposta

(a) A curva é a parábola \displaystyle y=1-x^{2} no plano xy, vértice em (0,1), percorrida da esquerda para a direita quando t aumenta.
(b) A curva é a parábola \displaystyle x=1-y^{2} no plano xy, vértice em (1,0), percorrida com y crescente (isto é, sobe conforme t cresce).
(c) A curva é o círculo \displaystyle (x-2)^{2}+(y+3)^{2}=1 (centro (2,-3), raio 1), percorrido uma vez no sentido anti-horário quando t vai de 0 a 2\pi.
(d) Hélice em torno do eixo x de raio 3 (pois y^{2}+z^{2}=9), com x=t (deslocamento para a direita conforme t aumenta); ponto inicial t=0\Rightarrow(0,0,3).
(e) Hélice elíptica ao longo do eixo x, com projeção no plano yz dada por \displaystyle \frac{y^{2}}{4^{2}}+\frac{z^{2}}{9^{2}}=1 (elipse de semi-eixos 4 e 9); x=t desloca a elipse ao longo do eixo x.
(f) Curva no plano z=2 dada por \displaystyle y^{2}=1+x^{2} (ou y=\sqrt{1+x^{2}}), ramo superior da hipérbole, com domínio efetivo |t|<\pi/2 (os extremos \pm\pi/2 não são válidos), percorrida da esquerda para a direita conforme t aumenta.

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