Esboce o traço da curva
determinada pela função vetorial
, sendo:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Passo 1
O que o enunciado pede: esboçar o traço da curva
dada por cada função vetorial
nos itens (a) a (f). Para cada item temos as informações abaixo (copiadas do enunciado):
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Informações relevantes já anotadas: componentes de cada
(as coordenadas
em função de
) e os domínios de
. A seguir vou, passo a passo, eliminar o parâmetro quando fizer sentido, identificar a curva (tipo geométrico), indicar pontos importantes e dizer a orientação (sentido em que a curva é percorrida quando
aumenta). Vou também explicar as ideias usadas (eliminação de parâmetro, identificação de cônicas, hélice) com calma e exemplos.
Passo 2
(a) Identificação e eliminação do parâmetro — aula rápida sobre eliminar parâmetro:
- Técnica: se as componentes são
e , resolvo uma para (ou aplico identidades trigonométricas/algebricas) e substituo para obter uma relação — essa é a equação cartesiana da curva. - Orientação: para saber o sentido do traço, calculo
e vejo como e variam quando aumenta.
Aplicando ao item (a):
- Temos
e . - Da primeira equação, isolamos
: - Substituindo na segunda:
- Conclusão: a curva é a parábola em plano
com equação (parábola com concavidade para baixo, vértice em ). - Orientação: como
, quando aumenta aumenta; portanto o traço é percorrido da esquerda para a direita (ou seja, conforme cresce vamos atravessando a parábola de negativo para positivo). Pontos notáveis: (vértice); ; . - Dica prática na prova: isole sempre uma componente que dê
facilmente (aqui ) — facilita a eliminação.
Passo 3
(b) Eliminação e análise:
- Componentes:
e . - Isolamos
pela segunda: - Substituindo na primeira:
- Conclusão: é uma parábola no plano
com equação . Essa parábola abre para a esquerda (porque diminui quando cresce), vértice em . - Orientação: como
, quando aumenta aumenta, então a curva é percorrida no sentido de crescente — isto é, subimos ao longo da parábola (do negativo para o positivo). Pontos notáveis: (vértice); ; . - Observação didática: comparar com (a): antes isolámos
em , aqui isolamos em ; sempre escolha a componente que isola diretamente.
Passo 4
(c) Eliminação e identificação de círculo — breve revisão de parametrização de círculo:
- Parametrização padrão de um círculo de centro
e raio é . Se aparecer algo desse tipo, é círculo.
Aplicando:
- Escrever as componentes:
e . - Então
e . - Somando os quadrados (identidade
):
- Conclusão: é um círculo de centro
e raio . - Orientação: como usamos
para e para , o parâmetro é exatamente o ângulo padrão; então, quando aumenta de a , percorremos o círculo uma vez no sentido anti-horário (orientação padrão). Pontos importantes: , , , . - Dica visual: marque o centro e os quatro pontos principais para esboçar rápido.
Passo 5
(d) Hélice ao redor do eixo
— como reconhecer hélices:
- Se
é função linear (ou afim) e as outras duas coordenadas formam uma parametrização circular ( ou com deslocamentos), então a curva é uma hélice (ou fio helicoidal) ao longo do eixo . Em geral, combinação de movimento de translação ao longo de um eixo + rotação circular dá hélice.
Aplicando ao item (d):
- Componentes:
- Observe que
ou seja,
- Conclusão: para cada
fixo (cada valor de ) o par está sobre um círculo de raio no plano . Como cresce com , o resultado é uma hélice de raio em torno do eixo . - Orientação: quando
aumenta, aumenta (vai para a direita) e o par descreve um círculo de frequência angular . Ponto inicial . Para visualizar o sentido de rotação, considere os pontos em alguns (por exemplo, ); assim você vê como o círculo é percorrido à medida que cresce. - Dica: desenhe primeiro a projeção no plano
(um círculo), depois “estique” esse círculo ao longo de para obter a hélice.
Passo 6
(e) Hélice elíptica (hélice com seção elíptica) — conceito:
- Se
e as outras componentes são do tipo e com , então a projeção no plano perpendicular ao eixo é uma elipse, e a curva espacial é uma hélice que tem secção elíptica.
Aplicando ao item (e):
- Componentes:
- Verificando a relação entre
e :
ou seja,
- Conclusão: a projeção no plano
é a elipse de semi-eixos (em ) e (em ); como cresce com , a curva é uma hélice cujo “fio” descreve essa elipse repetidamente enquanto se desloca no eixo . - Orientação:
cresce com , a elipse é percorrida com velocidade angular nas componentes trigonométricas. Ponto inicial . - Na prova: para esboçar, primeiro desenhe a elipse no plano
e depois “carimbe” cópias ao longo do eixo mostrando a progressão.
Passo 7
(f) Relação entre
e
, domínio e forma da curva — lembrete trigonométrico:
- Identidade fundamental:
- Isso permite eliminar
quando aparecem e .
Aplicando:
- Componentes:
. - Usando a identidade:
- Portanto a relação cartesiana é
- Observação sobre domínio: o enunciado deu
, mas e não são definidas em (porque ). Assim o domínio correto da parametrização é (intervalo aberto nos extremos). Com esse domínio, varre todo e é sempre (porque em temos ). - Conclusão: a curva é a ramo superior da hipérbole (no sentido de que
) contida no plano horizontal . Como é estritamente crescente no intervalo, a curva é percorrida da esquerda para a direita quando aumenta (isto é, cresce com ). - Dica prática: sempre cheque se o domínio declarado contém pontos onde a parametrização é indefinida (aqui detectamos
).
Resposta
(a) A curva é a parábola
no plano
, vértice em
, percorrida da esquerda para a direita quando
aumenta.
(b) A curva é a parábola
no plano
, vértice em
, percorrida com
crescente (isto é, sobe conforme
cresce).
(c) A curva é o círculo
(centro
, raio
), percorrido uma vez no sentido anti-horário quando
vai de
a
.
(d) Hélice em torno do eixo
de raio
(pois
), com
(deslocamento para a direita conforme
aumenta); ponto inicial
.
(e) Hélice elíptica ao longo do eixo
, com projeção no plano
dada por
(elipse de semi-eixos
e
);
desloca a elipse ao longo do eixo
.
(f) Curva no plano
dada por
(ou
), ramo superior da hipérbole, com domínio efetivo
(os extremos
não são válidos), percorrida da esquerda para a direita conforme
aumenta.