Uma escada de massa desprezível e de comprimento L se apoia contra uma parede lisa fazendo um ângulo de \theta com o chão horizontal. O coeficiente de atrito entre a escada e o chão é \mu_{s}. Um homem escala a escada. Qual altura ele pode alcançar antes que a escada deslize?

Passo 1

O enunciado descreve uma escada de comprimento L e massa desprezível, apoiada contra uma parede lisa, fazendo ângulo \theta com o chão. A base da escada tem atrito estático com coeficiente \mu_{s}. Um homem de massa m sobe até uma altura h (medida verticalmente). Precisamos achar a maior altura h antes que a escada comece a deslizar. Vamos usar equilíbrio de forças e de torques, além da condição de atrito estático f_{\max}=\mu_{s}N.

Passo 2

Desenhando o diagrama de forças sobre a escada:
  • Na base (ponto 0), há força normal vertical N para cima e força de atrito horizontal f.
  • No topo, a parede lisa exerce reação normal horizontal F_{w} (para a esquerda).
  • O peso do homem mg atua verticalmente para baixo a uma altura h da base.
    Em regime de equilíbrio estático, soma das forças horizontais e verticais é zero, e soma dos torques em qualquer ponto é zero.

Passo 3

Escrevendo as equações de equilíbrio de forças:
\sum F_x: \quad F_{w} - f = 0 \quad\Longrightarrow\quad f = F_{w}.
\sum F_y: \quad N - mg = 0 \quad\Longrightarrow\quad N = mg.

Passo 4

Equilíbrio de momentos tomando o ponto de apoio na base da escada:
  • Torque de F_{w}: braço perpendicular L\sin\theta, sentido anti-horário.
  • Torque do peso mg: braço perpendicular igual à distância horizontal do peso ao pé da escada, que é h\cot\theta, sentido horário.
    Impondo \sum M=0:
F_{w}\,(L\sin\theta)\;-\;mg\,(h\cot\theta)\;=\;0 \quad\Longrightarrow\quad F_{w} \;=\;\frac{mg\;h\cot\theta}{L\sin\theta}.

Passo 5

Para não deslizar, a força de atrito deve atender
f \;\le\;\mu_{s}\,N \quad\Longrightarrow\quad F_{w} \;\le\;\mu_{s}\,mg.
Substituindo F_{w} da etapa anterior:
\frac{mg\;h\cot\theta}{L\sin\theta}\;\le\;\mu_{s}\,mg \quad\Longrightarrow\quad \frac{h\cot\theta}{L\sin\theta}\;\le\;\mu_{s} \quad\Longrightarrow\quad h\;\le\;\mu_{s}\,\frac{L\sin\theta}{\cot\theta} \;=\;\mu_{s}\,\frac{L\sin^{2}\theta}{\cos\theta}.

Passo 6

Podemos também escrever
\frac{\sin^{2}\theta}{\cos\theta} =\sin\theta\;\tan\theta,
logo a altura máxima é
h_{\max} =\mu_{s}\,L\,\frac{\sin^{2}\theta}{\cos\theta} =\mu_{s}\,L\,\sin\theta\,\tan\theta.

Resposta

h_{\max} =\mu_{s}\,L\,\frac{\sin^{2}\theta}{\cos\theta} \;=\; \mu_{s}\,L\,\sin\theta\,\tan\theta.

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