Uma escada de 5 metros de comprimento está apoiada em uma parede vertical. A base da escada está a uma distância de 3 metros da base da parede. Qual é a altura, em metros, que a escada alcança na parede?
A) 2 m .
B) 3 m .
C) 4 m .
D) 8 m .

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz esta pergunta:\n
  • Uma escada tem comprimento \,5\\ \text{m}\,.\n
  • A base da escada está a uma distância de \,3\\ \text{m}\, da base da parede.\n
  • Pergunta: qual é a altura, em metros, que a escada alcança na parede?\n
    As alternativas fornecidas são:\n
    A) \,2\\ \text{m}\,. B) \,3\\ \text{m}\,. C) \,4\\ \text{m}\,. D) \,8\\ \text{m}\,.

Passo 2

Visualize a situação: a escada encostada na parede, o chão é horizontal e a parede é vertical. Esses três segmentos formam um triângulo retângulo:\n
  • um cateto é a distância no chão entre a parede e a base da escada ( \,3\\ \text{m}\,);\n
  • o outro cateto é a altura que queremos encontrar (a parte da escada apoiada na parede), que chamaremos de h;\n
  • a hipotenusa é a própria escada, com comprimento \,5\\ \text{m}\,.\n
    Em triângulos retângulos relacionam-se os comprimentos dos catetos e da hipotenusa por uma fórmula (vamos ver qual e por que usar).

Passo 3

A ferramenta que usamos aqui é a relação conhecida entre os lados de um triângulo retângulo. Essa relação é:\n
a^{2}+b^{2}=c^{2}\n
onde a e b representam os comprimentos dos dois catetos (os lados que se encontram no ângulo reto) e c representa o comprimento da hipotenusa (o lado oposto ao ângulo reto, o maior lado).\n
Explicando em palavras: o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. É exatamente a relação que precisamos porque temos um triângulo retângulo formado pela parede, pelo chão e pela escada.

Passo 4

Agora atribuímos as variáveis aos comprimentos do problema:\n
  • seja d a distância da base da escada até a parede; então d=3 (metros), isto é d=3;\n
  • seja h a altura que queremos achar (o outro cateto);\n
  • seja L o comprimento da escada (hipotenusa); então L=5 (metros), isto é L=5.\n
    Aplicando a fórmula do passo anterior ao nosso triângulo, temos\n
d^{2}+h^{2}=L^{2}.

Passo 5

Substituímos os valores conhecidos na equação:\n
3^{2}+h^{2}=5^{2}.\n
Calcule os quadrados:\n
9+h^{2}=25.\n
Isole h^{2}:\n
h^{2}=25-9=16.

Passo 6

Para obter h tiramos a raiz quadrada de ambos os lados. Como h representa uma medida de comprimento, tomamos a raiz positiva:\n
h=\sqrt{16}=4.\n
Um comentário prático: este é o famoso triplo pitagórico (3,4,5), isto é, um triângulo cujos lados inteiros satisfazem 3^{2}+4^{2}=5^{2}, o que confirma nosso resultado.

Passo 7

Portanto a altura que a escada alcança na parede é \,4\\ \text{m}\,, que corresponde à alternativa C).

Resposta

C) 4\\ \text{m}.

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