P. 4 Uma escala arbitrária adota os valores 5 e 365 para os pontos fixos fundamentais (ponto do gelo e ponto do vapor, respectivamente). Determine que indicação nessa escala corresponde ao 0{ }^{\circ} \mathrm{F}.
Na temperatura do ponto do gelo um termômetro defeituoso marca -0,3^{\circ} \mathrm{C} e na temperatura de ebulição da água sob pressão normal +100,2{ }^{\circ} \mathrm{C}. Determine qual é a única indicação correta desse termômetro. (Sugestão: admita que o termômetro defeituoso crie uma nova escala.)

Passo 1

O enunciado tem duas partes relacionadas a escalas lineares de temperatura. Primeiro, uma escala arbitrária que dá 5 ao ponto de gelo 0\,^\circ\mathrm{C} e 365 ao ponto de vapor 100\,^\circ\mathrm{C}, e pede a indicação nessa escala correspondente a 0\,^\circ\mathrm{F}. Depois, um termômetro defeituoso que marca -0,3\,^\circ\mathrm{C} no ponto de gelo e +100,2\,^\circ\mathrm{C} no ponto de ebulição, e pede a única temperatura em que ele indica o valor correto; ambos os problemas usam relações lineares entre escala e temperatura real.

Passo 2

Para a escala arbitrária, seja X a leitura na nova escala e T a temperatura em graus Celsius. Como é linear,
X = a\,T + b.
Nos pontos fixos temos
T=0\implies X=b=5,
T=100\implies 100\,a + b = 365 \implies 100\,a + 5 =365 \implies a = \frac{360}{100} = 3{,}6.
Logo
X(T) = 3{,}6\,T + 5.

Passo 3

Queremos X quando T é o valor correspondente a 0\,^\circ\mathrm{F}. A conversão de Fahrenheit para Celsius é
T = \frac{5}{9}\bigl(\,F - 32\bigr).
Para F=0 tem-se
T = \frac{5}{9}(0 - 32) = -\frac{160}{9}\approx -17{,}78\,^\circ\mathrm{C}.
Substituindo em X(T):
X\Bigl(-\tfrac{160}{9}\Bigr) = 3{,}6\!\times\!\Bigl(-\tfrac{160}{9}\Bigr) + 5 = -64 + 5 = -59.

Passo 4

Agora, para o termômetro defeituoso seja T_m a leitura e T a temperatura real em ^\circ\mathrm{C}. Como o defeito é linear,
T_m = a\,T + b.
Pelas condições dadas,
T=0\implies T_m = b = -0{,}3,
T=100\implies 100\,a + b = 100{,}2 \implies 100\,a - 0{,}3 = 100{,}2 \implies a = \frac{100{,}5}{100} = 1{,}005.
Logo
T_m(T) = 1{,}005\,T - 0{,}3.

Passo 5

A única temperatura em que o termômetro indica corretamente é quando T_m = T. Igualando:
1{,}005\,T - 0{,}3 = T \quad\Longrightarrow\quad 0{,}005\,T = 0{,}3 \quad\Longrightarrow\quad T = \frac{0{,}3}{0{,}005} = 60.

Resposta

Na escala arbitrária, 0\,^\circ\mathrm{F} corresponde a -59.
O termômetro defeituoso indica corretamente apenas a 60\,^\circ\mathrm{C}.

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