P. 16 Numa escala arbitrária E, o zero corresponde a -10^{\circ} \mathrm{C} e a indicação 100^{\circ} \mathrm{E} corresponde a 40^{\circ} \mathrm{C}. Determine:
a) a fórmula de conversão entre as indicações da escala E e da escala Celsius;
b) as leituras que, na escala E, correspondem ao ponto do gelo e ao ponto do vapor;
c) as indicações cujos valores absolutos coincidem nas escalas E e Celsius.
Passo 1
O enunciado define uma escala E de temperatura em que 0^\circ\mathrm{E} corresponde a -10^\circ\mathrm{C} e 100^\circ\mathrm{E} corresponde a 40^\circ\mathrm{C}. O conteúdo aqui é transformação linear (função afim) entre duas escalas de temperatura. Vamos chamar de T_E o valor em graus E e de T_C o valor em graus Celsius e buscar uma relação do tipo
T_C = a\,T_E + b.
Passo 2
Para encontrar a\) e \(b\), usamos os dois pares conhecidos:
\[\begin{cases} T_E=0^\circ\mathrm{E}\longrightarrow T_C=-10^\circ\mathrm{C},\\\ T_E=100^\circ\mathrm{E}\longrightarrow T_C=40^\circ\mathrm{C}. \end{cases}
Do primeiro par, ao substituir em T_C = a\,T_E + b\] vem
\[-10 = a\cdot 0 + b \quad\Longrightarrow\quad b = -10.\]
Do segundo par,
\[40 = a\cdot 100 + b \quad\Longrightarrow\quad 40 = 100a - 10 \quad\Longrightarrow\quad a = \frac{50}{100} = 0,5.\]
Logo a conversão direta é
\[T_C = 0,5\,T_E - 10.\]
Invertendo para \(T_E em função de T_C,
T_E = \frac{T_C + 10}{0,5} = 2\,T_C + 20.
Passo 3
(b) Para o ponto de gelo da água T_C=0^\circ\mathrm{C}, temos
T_E = 2\cdot 0 + 20 = 20^\circ\mathrm{E}.
Para o ponto de vapor T_C=100^\circ\mathrm{C},
T_E = 2\cdot 100 + 20 = 220^\circ\mathrm{E}.
Passo 4
(c) Queremos indicações em que o valor absoluto seja igual nas duas escalas, isto é,
(a) T_C = 0,5\,T_E - 10 e, invertendo, T_E = 2\,T_C + 20.
(b) Ponto de gelo: 20^\circ\mathrm{E}. Ponto de vapor: 220^\circ\mathrm{E}.
(c) Há duas soluções: \bigl(T_C,T_E\bigr)=\bigl(-20^\circ\mathrm{C},-20^\circ\mathrm{E}\bigr) e \bigl(T_C,T_E\bigr)=\bigl(-\tfrac{20}{3}^\circ\mathrm{C},\tfrac{20}{3}^\circ\mathrm{E}\bigr).