Em uma escala linear de temperatura X, a água congela a -125,0^{\circ} \mathrm{X} e evapora a 375,0^{\circ} \mathrm{X}. Em uma escala linear de temperatura Y , a água congela a -70,00^{\circ} \mathrm{Y} e evapora a 230,00^{\circ} \mathrm{Y}. Uma temperatura de 50,00^{\circ} \mathrm{Y} corresponde a que temperatura na escala X?

Passo 1

O enunciado dá as correspondências entre as escalas X e Y nos pontos de fusão e ebulição da água, e pede a temperatura em X correspondente a 50,00^\circ\mathrm{Y}.
Dados fornecidos:
  • Água congela em -125,0^\circ\mathrm{X} e evapora em 375,0^\circ\mathrm{X}.
  • Água congela em -70,00^\circ\mathrm{Y} e evapora em 230,00^\circ\mathrm{Y}.
  • Pergunta: qual a temperatura em X correspondente a 50,00^\circ\mathrm{Y}?

Passo 2

Como ambas as escalas são lineares, existe uma transformação afim (linear com deslocamento) que relaciona as temperaturas nas duas escalas. Podemos escrever
T_X = a\,T_Y + b,
onde:
  • T_X é a temperatura na escala X,
  • T_Y é a temperatura na escala Y,
  • a é o fator de escala (mostra quantos graus em X correspondem a um grau em Y),
  • b é a constante de deslocamento (ajusta onde fica o zero de uma escala em relação à outra).
Vou usar os dois pontos conhecidos (congelamento e ebulição) para determinar a e b.

Passo 3

Aplicando a relação \,T_X = a\,T_Y + b aos dois pontos dados:
Para o ponto de congelação:
-125,0 = a\cdot(-70,00) + b.
Para o ponto de ebulição:
375,0 = a\cdot(230,00) + b.
Essas são duas equações lineares em a e b.

Passo 4

Subtraindo a primeira equação da segunda para eliminar b:
375,0 - (-125,0) = a\bigl(230,00 - (-70,00)\bigr).
Calcule os dois lados:
500,0 = a\cdot 300,00.
Logo
a = \frac{500,0}{300,00} = \frac{5}{3}.
Interpretação didática: o intervalo entre fusão e ebulição na escala X é de 500,0 unidades, enquanto na escala Y é de 300,00 unidades; portanto cada grau em Y vale \tfrac{5}{3} graus em X.

Passo 5

Agora obtemos b substituindo a=\tfrac{5}{3} em uma das equações (uso a da congelação):
-125,0 = \frac{5}{3}\cdot(-70,00) + b.
Calcule o produto:
\frac{5}{3}\cdot(-70,00) = -\frac{350}{3}.
Isolando b:
b = -125,0 + \frac{350}{3} = -\frac{375}{3} + \frac{350}{3} = -\frac{25}{3}.
Portanto b = -\dfrac{25}{3} (que em decimal é aproximadamente -8,333\ldots).

Passo 6

A fórmula de conversão encontrada é
T_X = \frac{5}{3}\,T_Y - \frac{25}{3}.
Relembrando: T_Y é a temperatura na escala Y que se deseja converter; substituindo nela obtém-se T_X.

Passo 7

Substituindo T_Y = 50,00 na fórmula:
T_X = \frac{5}{3}\cdot 50,00 - \frac{25}{3} = \frac{250}{3} - \frac{25}{3} = \frac{225}{3}.

Passo 8

Verificação rápida (sanity check): aplicando a fórmula aos pontos extremos originais recuperam-se os valores dados,
T_Y=-70,00 \Rightarrow T_X=\frac{5}{3}(-70,00)-\frac{25}{3}=-125,0,
T_Y=230,00 \Rightarrow T_X=\frac{5}{3}(230,00)-\frac{25}{3}=375,0,
o que confirma que a fórmula está consistente com os pontos fornecidos.

Resposta

75,00^\circ\mathrm{X}

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