Em uma escala linear de temperatura X, a água congela a
e evapora a
. Em uma escala linear de temperatura Y , a água congela a
e evapora a
. Uma temperatura de
corresponde a que temperatura na escala X?
Passo 1
O enunciado dá as correspondências entre as escalas
e
nos pontos de fusão e ebulição da água, e pede a temperatura em
correspondente a
.
Dados fornecidos:
- Água congela em
e evapora em . - Água congela em
e evapora em . - Pergunta: qual a temperatura em
correspondente a ?
Passo 2
Como ambas as escalas são lineares, existe uma transformação afim (linear com deslocamento) que relaciona as temperaturas nas duas escalas. Podemos escrever
onde:
-
é a temperatura na escala , -
é a temperatura na escala , -
é o fator de escala (mostra quantos graus em correspondem a um grau em ), -
é a constante de deslocamento (ajusta onde fica o zero de uma escala em relação à outra).
Vou usar os dois pontos conhecidos (congelamento e ebulição) para determinar
e
.
Passo 3
Aplicando a relação
aos dois pontos dados:
Para o ponto de congelação:
Para o ponto de ebulição:
Essas são duas equações lineares em
e
.
Passo 4
Subtraindo a primeira equação da segunda para eliminar
:
Calcule os dois lados:
Logo
Interpretação didática: o intervalo entre fusão e ebulição na escala
é de
unidades, enquanto na escala
é de
unidades; portanto cada grau em
vale
graus em
.
Passo 5
Agora obtemos
substituindo
em uma das equações (uso a da congelação):
Calcule o produto:
Isolando
:
Portanto
(que em decimal é aproximadamente
).
Passo 6
A fórmula de conversão encontrada é
Relembrando:
é a temperatura na escala
que se deseja converter; substituindo nela obtém-se
.
Passo 7
Substituindo
na fórmula:
Passo 8
Verificação rápida (sanity check): aplicando a fórmula aos pontos extremos originais recuperam-se os valores dados,
o que confirma que a fórmula está consistente com os pontos fornecidos.