Problema 4 (1,5 pt) Um capacitor rudimentar é formado por um par de placas paralelas verticais, cada uma de área
, separadas por uma distância
. Considere
. Se cada plano tem densidade de carga superficial
, determine o campo elétrico na região (c) à direita de ambas. Seja claro sobre as superfícies gaussianas utilizadas e calcule separadamente o fluxo do campo elétrico através de cada uma de suas faces.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede, sem ainda resolver nada.
-
Dados fornecidos:
- Duas placas paralelas, cada uma de área
, separadas por uma distância . - A condição
(significa que os efeitos de borda são desprezíveis, podemos tratar as placas como aproximadamente infinitas na região central). - Cada placa tem densidade superficial de carga
.
- Duas placas paralelas, cada uma de área
-
O que o enunciado pede:
- Determinar o campo elétrico na região (c), que é a região à direita de ambas as placas.
- Ser explícito sobre as superfícies gaussianas usadas.
- Calcular separadamente o fluxo do campo elétrico através de cada face dessas superfícies gaussianas.
Passo 2
Escolha do método e ideia geral (sem detalhes ainda): usar a Lei de Gauss e o princípio da superposição. Explicação curta do porquê:
- A condição
permite aproximar cada placa por um plano infinito localmente; para um plano infinito uniformemente carregado a Lei de Gauss dá um resultado simples e exato para o campo. - Depois usamos superposição (somamos vetorialmente os campos produzidos por cada placa) para obter o campo total em qualquer região.
Vou primeiro recuperar a fórmula do campo de um único plano infinito por Gauss (mostrando superfície gaussianas e fluxos), porque é a base para somar os campos.
Passo 3
Campo de um plano infinito uniformemente carregado — escolha da superfície gaussiana e cálculo do fluxo.
-
Escolha da superfície gaussiana: um “pillbox” (um cilindro muito achatado) com as bases planas paralelas à placa. Denoto a área de cada base por
. Escolho e o pillbox centrado na placa, de modo que as bases fiquem uma de cada lado da placa e as faces laterais sejam paralelas ao campo (logo não contribuem para o fluxo). -
O que a Lei de Gauss diz (em palavras e fórmula): o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total envolvida dentro dividido por
:
Aqui
é a permissividade elétrica do vácuo;
é o campo elétrico;
é o vetor área apontando para fora.
-
Simetria e fluxo através das faces:
- Devido à simetria de um plano infinito, o campo tem direção normal ao plano e mesmo módulo em ambos os lados. Denoto esse módulo por
(positivo). - Fluxo através das duas bases do pillbox: cada base tem área
e é perpendicular e apontando para fora em ambas as bases (se , o campo afasta-se da placa). Portanto o fluxo total é
- As faces laterais não contribuem porque
é paralelo a elas.
- Devido à simetria de um plano infinito, o campo tem direção normal ao plano e mesmo módulo em ambos os lados. Denoto esse módulo por
-
Carga encerrada pelo pillbox:pois a placa tem densidade superficial
e a área interceptada pela superfície gaussiana é . -
Aplicando Gauss:Direção: para
, o campo está apontando para fora do plano em ambos os lados (ou seja, se o plano estiver em , o campo aponta para à direita e para à esquerda). -
Observação didática: a escolha de
não altera o resultado (cancela-se), desde que esteja contida na região plana da placa (evitando bordas). Essa é a beleza da Lei de Gauss para simetrias altas.
Passo 4
Superposição para duas placas paralelas com mesma densidade
— análise qualitativa das direções e soma dos campos.
-
Denotemos a placa da esquerda por
e a da direita por . Ambas têm densidade . -
Em qualquer ponto a campo total é a soma vetorial dos campos gerados por
e por . -
Direções (use a intuição física do campo de um plano positivo): cada placa gera um campo apontando para fora do seu plano. Assim:
- Na região entre as placas (entre
e ): o campo de aponta para a direita e o campo de aponta para a esquerda — esses dois campos têm módulos iguais e, portanto, na região entre eles eles se cancelam, resultando em campo nulo (se desprezarmos bordas). - Na região à direita de ambas as placas (região (c)): o campo de
aponta para a direita (afastando-se da placa esquerda) com módulo , e o campo de também aponta para a direita (afastando-se da placa direita) com módulo . Os dois se somam.
- Na região entre as placas (entre
-
Soma dos módulos na região (c):Direção: para a direita (afastando-se das placas).
Passo 5
Construção explícita de uma superfície gaussiana que envolve as duas placas e cálculo do fluxo através de cada face (atendendo ao pedido de ser claro sobre as superfícies gaussianas e fluxos por face).
-
Escolha da superfície gaussiana para esta etapa: um paralelepípedo (caixa retangular) cuja face direita está na região (c) (à direita de ambas as placas) e cuja face esquerda está à esquerda de ambas as placas. As faces superior/inferior/ laterais são escolhidas paralelas às placas de forma que não contribuam para o fluxo (campo paralelo a essas faces). Denoto a área das faces esquerda e direita por
, escolhendo e centralizado nas placas, evitando bordas. -
Carga encerrada pela caixa: a caixa intercepta as duas placas, então a carga total dentro vale
-
Fluxos através das faces:
- Face direita: o vetor normal externo da face direita aponta para a direita; na região (c) o campo resultante está para a direita com módulo
. O fluxo através da face direita é
- Face esquerda: o vetor normal externo da face esquerda aponta para a esquerda; à esquerda de ambas as placas o campo total também aponta para a esquerda (simetria) com o mesmo módulo
. O fluxo através da face esquerda (com sinal positivo porque e têm o mesmo sentido) é
- Faces laterais: contribuição zero.
- Face direita: o vetor normal externo da face direita aponta para a direita; na região (c) o campo resultante está para a direita com módulo
-
Fluxo total pela superfície gaussiana:
-
Aplicando Gauss:
-
Assim, os fluxos através de cada face valem (substituindo
): E as faces laterais têm fluxo nulo.
Passo 6
Resumo interpretativo e comentário final de ajuda para a prova (curto e motivador).
- Resultado físico simples: duas placas positivamente carregadas produzem campo nulo entre elas (pois os campos de cada uma se opõem) e campo reforçado fora (os campos somam). Especificamente, à direita de ambas o campo tem módulo
apontando para a direita. - Dica prática para a prova: sempre que ver placas com área grande e separação pequena, trate-as como planos infinitos e use pillboxes para um plano isolado ou uma caixa que envolva várias placas quando for conveniente. Escolha áreas
interiores às placas para evitar cuidar de bordas.