Problema 4 (1,5 pt) Um capacitor rudimentar é formado por um par de placas paralelas verticais, cada uma de área A, separadas por uma distância d. Considere d^{2} \ll A. Se cada plano tem densidade de carga superficial \sigma>0, determine o campo elétrico na região (c) à direita de ambas. Seja claro sobre as superfícies gaussianas utilizadas e calcule separadamente o fluxo do campo elétrico através de cada uma de suas faces.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede, sem ainda resolver nada.
  • Dados fornecidos:
    • Duas placas paralelas, cada uma de área A, separadas por uma distância d.
    • A condição d^{2}\ll A (significa que os efeitos de borda são desprezíveis, podemos tratar as placas como aproximadamente infinitas na região central).
    • Cada placa tem densidade superficial de carga \sigma>0.
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar o campo elétrico na região (c), que é a região à direita de ambas as placas.
    • Ser explícito sobre as superfícies gaussianas usadas.
    • Calcular separadamente o fluxo do campo elétrico através de cada face dessas superfícies gaussianas.

Passo 2

Escolha do método e ideia geral (sem detalhes ainda): usar a Lei de Gauss e o princípio da superposição. Explicação curta do porquê:
  • A condição d^{2}\ll A permite aproximar cada placa por um plano infinito localmente; para um plano infinito uniformemente carregado a Lei de Gauss dá um resultado simples e exato para o campo.
  • Depois usamos superposição (somamos vetorialmente os campos produzidos por cada placa) para obter o campo total em qualquer região.
    Vou primeiro recuperar a fórmula do campo de um único plano infinito por Gauss (mostrando superfície gaussianas e fluxos), porque é a base para somar os campos.

Passo 3

Campo de um plano infinito uniformemente carregado — escolha da superfície gaussiana e cálculo do fluxo.
  • Escolha da superfície gaussiana: um “pillbox” (um cilindro muito achatado) com as bases planas paralelas à placa. Denoto a área de cada base por S. Escolho S\le A e o pillbox centrado na placa, de modo que as bases fiquem uma de cada lado da placa e as faces laterais sejam paralelas ao campo (logo não contribuem para o fluxo).
  • O que a Lei de Gauss diz (em palavras e fórmula): o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total envolvida dentro dividido por \varepsilon_{0}:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}}.
Aqui \varepsilon_{0} é a permissividade elétrica do vácuo; \mathbf{E} é o campo elétrico; d\mathbf{A} é o vetor área apontando para fora.
  • Simetria e fluxo através das faces:
    • Devido à simetria de um plano infinito, o campo tem direção normal ao plano e mesmo módulo em ambos os lados. Denoto esse módulo por E_{\text{plano}} (positivo).
    • Fluxo através das duas bases do pillbox: cada base tem área S e \mathbf{E} é perpendicular e apontando para fora em ambas as bases (se \sigma>0, o campo afasta-se da placa). Portanto o fluxo total é
    \Phi_{\text{total}} = E_{\text{plano}} S + E_{\text{plano}} S = 2 E_{\text{plano}} S.
    • As faces laterais não contribuem porque \mathbf{E} é paralelo a elas.
  • Carga encerrada pelo pillbox:
    Q_{\text{int}} = \sigma S,
    pois a placa tem densidade superficial \sigma e a área interceptada pela superfície gaussiana é S.
  • Aplicando Gauss:
    2 E_{\text{plano}} S = \frac{\sigma S}{\varepsilon_{0}} \quad\Rightarrow\quad E_{\text{plano}}=\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}.
    Direção: para \sigma>0, o campo está apontando para fora do plano em ambos os lados (ou seja, se o plano estiver em x=0, o campo aponta para +x à direita e para -x à esquerda).
  • Observação didática: a escolha de S não altera o resultado (cancela-se), desde que S esteja contida na região plana da placa (evitando bordas). Essa é a beleza da Lei de Gauss para simetrias altas.

Passo 4

Superposição para duas placas paralelas com mesma densidade \sigma>0 — análise qualitativa das direções e soma dos campos.
  • Denotemos a placa da esquerda por P_L e a da direita por P_R. Ambas têm densidade \sigma>0.
  • Em qualquer ponto a campo total é a soma vetorial dos campos gerados por P_L e por P_R.
  • Direções (use a intuição física do campo de um plano positivo): cada placa gera um campo apontando para fora do seu plano. Assim:
    • Na região entre as placas (entre P_L e P_R): o campo de P_L aponta para a direita e o campo de P_R aponta para a esquerda — esses dois campos têm módulos iguais \sigma/(2\varepsilon_{0}) e, portanto, na região entre eles eles se cancelam, resultando em campo nulo (se desprezarmos bordas).
    • Na região à direita de ambas as placas (região (c)): o campo de P_L aponta para a direita (afastando-se da placa esquerda) com módulo \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}, e o campo de P_R também aponta para a direita (afastando-se da placa direita) com módulo \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}. Os dois se somam.
  • Soma dos módulos na região (c):
    E_{\text{\text{(c)}}} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}} + \frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}} = \frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}.
    Direção: para a direita (afastando-se das placas).

Passo 5

Construção explícita de uma superfície gaussiana que envolve as duas placas e cálculo do fluxo através de cada face (atendendo ao pedido de ser claro sobre as superfícies gaussianas e fluxos por face).
  • Escolha da superfície gaussiana para esta etapa: um paralelepípedo (caixa retangular) cuja face direita está na região (c) (à direita de ambas as placas) e cuja face esquerda está à esquerda de ambas as placas. As faces superior/inferior/ laterais são escolhidas paralelas às placas de forma que não contribuam para o fluxo (campo paralelo a essas faces). Denoto a área das faces esquerda e direita por S, escolhendo S\le A e centralizado nas placas, evitando bordas.
  • Carga encerrada pela caixa: a caixa intercepta as duas placas, então a carga total dentro vale
    Q_{\text{int}} = \sigma S + \sigma S = 2\sigma S.
  • Fluxos através das faces:
    • Face direita: o vetor normal externo da face direita aponta para a direita; na região (c) o campo resultante está para a direita com módulo E_{\text{\text{(c)}}}. O fluxo através da face direita é
    \Phi_{\text{direita}} = E_{\text{\text{(c)}}}\, S.
    • Face esquerda: o vetor normal externo da face esquerda aponta para a esquerda; à esquerda de ambas as placas o campo total também aponta para a esquerda (simetria) com o mesmo módulo E_{\text{\text{(c)}}}. O fluxo através da face esquerda (com sinal positivo porque \mathbf{E} e d\mathbf{A} têm o mesmo sentido) é
    \Phi_{\text{esquerda}} = E_{\text{\text{(c)}}}\, S.
    • Faces laterais: contribuição zero.
  • Fluxo total pela superfície gaussiana:
    \Phi_{\text{total}}=\Phi_{\text{direita}}+\Phi_{\text{esquerda}}=2 E_{\text{\text{(c)}}} S.
  • Aplicando Gauss:
    2 E_{\text{\text{(c)}}} S = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}} = \frac{2\sigma S}{\varepsilon_{0}} \quad\Rightarrow\quad E_{\text{\text{(c)}}}=\frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}.
  • Assim, os fluxos através de cada face valem (substituindo E_{\text{\text{(c)}}}):
    \Phi_{\text{direita}}=\Phi_{\text{esquerda}}=\frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}\,S.
    E as faces laterais têm fluxo nulo.

Passo 6

Resumo interpretativo e comentário final de ajuda para a prova (curto e motivador).
  • Resultado físico simples: duas placas positivamente carregadas produzem campo nulo entre elas (pois os campos de cada uma se opõem) e campo reforçado fora (os campos somam). Especificamente, à direita de ambas o campo tem módulo \dfrac{\sigma}{\varepsilon_{0}} apontando para a direita.
  • Dica prática para a prova: sempre que ver placas com área grande e separação pequena, trate-as como planos infinitos e use pillboxes para um plano isolado ou uma caixa que envolva várias placas quando for conveniente. Escolha áreas S interiores às placas para evitar cuidar de bordas.

Resposta

\displaystyle \mathbf{E}_{\text{\text{(c)}}}=\frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}\\ \hat{\mathbf{x}}

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