Problema 4 (1,5 pt) Um capacitor rudimentar é formado por um par de placas paralelas verticais, cada uma de área A, separadas por uma distância d. Considere d^{2} \ll A. Se cada plano tem densidade de carga superficial \sigma>0, determine o campo elétrico na região (b) à esquerda de ambas. Seja claro sobre as superfícies gaussianas utilizadas e calcule separadamente o fluxo do campo elétrico através de cada uma de suas faces.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Há um par de placas paralelas, verticais, cada uma com área A e separadas por uma distância d. Foi dada a condição d^{2}\ll A (ou seja, as placas são muito grandes comparadas à separação).
  • Cada plano possui densidade de carga superficial positiva \sigma>0.
  • Pede-se o campo elétrico na região (b), que é a região à esquerda de ambas as placas (fora do conjunto formado pelas duas placas).
  • Pede-se também que se seja claro sobre as superfícies gaussianas utilizadas e que se calcule separadamente o fluxo do campo elétrico através de cada uma das faces dessas superfícies.

Passo 2

Conceito e ferramenta que vamos usar (aula rápida e informal sobre Gauss):
  • Lei de Gauss (forma integral): para qualquer superfície fechada \mathcal{S},
\oint_{\mathcal{S}}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0},
onde Q_{\text{int}} é a carga total dentro da superfície, \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo, d\mathbf{A} é o vetor área (módulo igual à área de um elemento com direção do normal externo).
  • Para uma lâmina plana e infinitamente grande com densidade superficial \sigma (ou uma placa grande onde as bordas são desprezíveis, que é o nosso caso porque d^2\ll A), podemos derivar o campo usando um “pilon” (pillbox) gaussiano: um paralelepípedo cuja duas faces planas são paralelas à placa, uma de cada lado, e que atravessa a placa. Esse é o Gaussian surface que usamos para a placa isolada.

Passo 3

Aplicando Gauss a uma única placa infinita (ou placas grandes tratadas como infinitas): escolha do cilindro/pillbox e cálculo dos fluxos
  • Escolha a superfície gaussiana: um cilindro muito achatado (pillbox) com base de área A_{\text{box}}, cuja face plana esquerda fica do lado esquerdo da placa e a face plana direita fica do lado direito da placa. As faces curvas (lateral) são ortogonais ao campo e, por simetria, o fluxo lateral é zero.
  • Simetria: para uma placa com carga positiva, o campo tem módulo igual em módulos e aponta para fora da placa em ambos os lados, perpendicular à superfície.
  • Denotar por E_{\text{L}} o módulo do campo na face esquerda do pillbox e por E_{\text{R}} o módulo na face direita. Os vetores campo são perpendiculares às faces planas.
  • Fluxo através de cada face (usando as normas externas das faces):
    • Para a face esquerda: o vetor área aponta para a esquerda (saindo do volume). Se o campo do lado esquerdo aponta para a esquerda (pois a placa é positiva), então
    \Phi_{\text{esq}}=\mathbf{E}_{\text{esq}}\cdot\mathbf{A}_{\text{esq}}=E_{\text{L}}\,A_{\text{box}}.
    • Para a face direita: o vetor área aponta para a direita; o campo do lado direito aponta para a direita, logo
    \Phi_{\text{dir}}=\mathbf{E}_{\text{dir}}\cdot\mathbf{A}_{\text{dir}}=E_{\text{R}}\,A_{\text{box}}.
    • Fluxo lateral: \Phi_{\text{lat}}=0 por ortogonalidade/simetria.
  • Carga dentro do pillbox: a placa atravessando o pillbox contribui com Q_{\text{int}}=\sigma\,A_{\text{box}}.
  • Aplicando Gauss:
\Phi_{\text{total}}=\Phi_{\text{esq}}+\Phi_{\text{dir}}=E_{\text{L}}A_{\text{box}}+E_{\text{R}}A_{\text{box}}=\frac{\sigma A_{\text{box}}}{\varepsilon_0}.
  • Por simetria (placa infinita), os módulos dos campos em ambos os lados são iguais: E_{\text{L}}=E_{\text{R}}=:E_{\text{placa}}. Então
2E_{\text{placa}}A_{\text{box}}=\frac{\sigma A_{\text{box}}}{\varepsilon_0}\quad\Rightarrow\quad E_{\text{placa}}=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}.
  • Interpretação de direção: para \sigma>0, o campo sai da placa; do lado esquerdo ele aponta para a esquerda, do lado direito aponta para a direita.
Resumo didático: cada placa isolada produz, fora dela, um campo de módulo \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0} perpendicular à placa, apontando para fora (para placas positivas).

Passo 4

Aplicação ao sistema com duas placas paralelas, ambas com \sigma>0: quais superfícies gaussianas consideramos e fluxos
  • Vamos tratar cada placa separadamente como se fosse uma placa “infinita” (justificativa: d^{2}\ll A torna os efeitos de borda desprezíveis). Para cada placa usamos o pillbox descrito no passo anterior (ou seja, um pillbox atravessando a placa) — então já calculamos o fluxo através de cada face daquele pillbox:
    • Para a placa da esquerda, com área do box A_{\text{box}}:
      • Fluxo através da face externa esquerda (a face que fica na região (b), à esquerda de ambas): \Phi_{\text{L,esq}}=E_{\text{L,placa}}\,A_{\text{box}}=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}A_{\text{box}}.
      • Fluxo através da face interna direita (voltada para a região entre as placas): \Phi_{\text{L,dir}}=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}A_{\text{box}}.
    • Para a placa da direita, com seu pillbox:
      • Fluxo através da face interna esquerda (que fica na região entre as placas): \Phi_{\text{R,esq}}=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}A_{\text{box}}.
      • Fluxo através da face externa direita (fora, ao lado direito): \Phi_{\text{R,dir}}=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}A_{\text{box}}.
  • Observação importante sobre direções dos campos:
    • Campo gerado pela placa da esquerda: na região externa à esquerda ele aponta para a esquerda (módulo \sigma/(2\varepsilon_0)); na região entre as placas ele aponta para a direita (também \sigma/(2\varepsilon_0)).
    • Campo gerado pela placa da direita: na região entre as placas ele aponta para a esquerda (módulo \sigma/(2\varepsilon_0)); na região externa à direita aponta para a direita.
  • Para calcular o campo total na região (b) (à esquerda de ambas), usamos superposição: somamos vetorialmente os campos individuais em cada ponto.

Passo 5

Somando as contribuições na região (b) — resultado físico e cálculo vetorial
  • Defina um eixo \hat{x} apontando para a direita. Então “para a esquerda” corresponde a -\hat{x}.
  • Campo produzido pela placa da esquerda, na região (b): aponta para a esquerda, ou seja
\mathbf{E}_{\text{esq}}=-\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,\hat{x}.
  • Campo produzido pela placa da direita, no mesmo ponto da região (b): também aponta para a esquerda (porque um ponto à esquerda da placa direita está do lado esquerdo dela e o campo sai para fora), assim
\mathbf{E}_{\text{dir}}=-\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,\hat{x}.
  • Superpondo (somando vetorialmente):
\mathbf{E}_{\text{total}}=\mathbf{E}_{\text{esq}}+\mathbf{E}_{\text{dir}}=-\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,\hat{x}-\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,\hat{x}=-\frac{\sigma}{\varepsilon_0}\,\hat{x}.
  • Em palavras: os dois campos apontam para a mesma direção (para a esquerda) e somam, dando módulo
E_{\text{total}}=\frac{\sigma}{\varepsilon_0},
direcionado para a esquerda.

Passo 6

Comentários finais, verificação rápida e justificativa da aproximação
  • A condição d^{2}\ll A garante que podemos desprezar as bordas e tratar cada placa como “infinita” na região central, portanto a derivação com pillbox é válida.
  • Observação útil para a prova: entre as placas, os campos das duas placas se opõem (um para a direita, outro para a esquerda) e, como os módulos são iguais, o campo entre as placas é nulo se ambas tiverem a mesma densidade positiva \sigma. Fora do par (nas região à esquerda e à direita de ambas), os campos se somam, resultando em módulo \sigma/\varepsilon_0 apontando para fora (para esquerda à esquerda das placas, para direita à direita das placas).
  • Já identificamos explicitamente as superfícies gaussianas usadas (pillboxes atravessando cada placa) e calculamos os fluxos através de cada face: em cada pillbox, o fluxo através de cada face plana vale \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}A_{\text{box}}, conforme mostrado no Passo 3.

Resposta

\displaystyle \mathbf{E}=-\frac{\sigma}{\varepsilon_0}\,\hat{x}

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