Problema 4 (1,5 pt) Um capacitor rudimentar é formado por um par de placas paralelas verticais, cada uma de área
, separadas por uma distância
. Considere
. Se cada plano tem densidade de carga superficial
, determine o campo elétrico na região (b) à esquerda de ambas. Seja claro sobre as superfícies gaussianas utilizadas e calcule separadamente o fluxo do campo elétrico através de cada uma de suas faces.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Há um par de placas paralelas, verticais, cada uma com área
e separadas por uma distância . Foi dada a condição (ou seja, as placas são muito grandes comparadas à separação). - Cada plano possui densidade de carga superficial positiva
. - Pede-se o campo elétrico na região (b), que é a região à esquerda de ambas as placas (fora do conjunto formado pelas duas placas).
- Pede-se também que se seja claro sobre as superfícies gaussianas utilizadas e que se calcule separadamente o fluxo do campo elétrico através de cada uma das faces dessas superfícies.
Passo 2
Conceito e ferramenta que vamos usar (aula rápida e informal sobre Gauss):
- Lei de Gauss (forma integral): para qualquer superfície fechada
,
onde
é a carga total dentro da superfície,
é a permissividade do vácuo,
é o vetor área (módulo igual à área de um elemento com direção do normal externo).
- Para uma lâmina plana e infinitamente grande com densidade superficial
(ou uma placa grande onde as bordas são desprezíveis, que é o nosso caso porque ), podemos derivar o campo usando um “pilon” (pillbox) gaussiano: um paralelepípedo cuja duas faces planas são paralelas à placa, uma de cada lado, e que atravessa a placa. Esse é o Gaussian surface que usamos para a placa isolada.
Passo 3
Aplicando Gauss a uma única placa infinita (ou placas grandes tratadas como infinitas): escolha do cilindro/pillbox e cálculo dos fluxos
- Escolha a superfície gaussiana: um cilindro muito achatado (pillbox) com base de área
, cuja face plana esquerda fica do lado esquerdo da placa e a face plana direita fica do lado direito da placa. As faces curvas (lateral) são ortogonais ao campo e, por simetria, o fluxo lateral é zero. - Simetria: para uma placa com carga positiva, o campo tem módulo igual em módulos e aponta para fora da placa em ambos os lados, perpendicular à superfície.
- Denotar por
o módulo do campo na face esquerda do pillbox e por o módulo na face direita. Os vetores campo são perpendiculares às faces planas. - Fluxo através de cada face (usando as normas externas das faces):
- Para a face esquerda: o vetor área aponta para a esquerda (saindo do volume). Se o campo do lado esquerdo aponta para a esquerda (pois a placa é positiva), então
- Para a face direita: o vetor área aponta para a direita; o campo do lado direito aponta para a direita, logo
- Fluxo lateral:
por ortogonalidade/simetria.
- Carga dentro do pillbox: a placa atravessando o pillbox contribui com
. - Aplicando Gauss:
- Por simetria (placa infinita), os módulos dos campos em ambos os lados são iguais:
. Então
- Interpretação de direção: para
, o campo sai da placa; do lado esquerdo ele aponta para a esquerda, do lado direito aponta para a direita.
Resumo didático: cada placa isolada produz, fora dela, um campo de módulo
perpendicular à placa, apontando para fora (para placas positivas).
Passo 4
Aplicação ao sistema com duas placas paralelas, ambas com
: quais superfícies gaussianas consideramos e fluxos
- Vamos tratar cada placa separadamente como se fosse uma placa “infinita” (justificativa:
torna os efeitos de borda desprezíveis). Para cada placa usamos o pillbox descrito no passo anterior (ou seja, um pillbox atravessando a placa) — então já calculamos o fluxo através de cada face daquele pillbox: - Para a placa da esquerda, com área do box
: - Fluxo através da face externa esquerda (a face que fica na região (b), à esquerda de ambas):
. - Fluxo através da face interna direita (voltada para a região entre as placas):
.
- Fluxo através da face externa esquerda (a face que fica na região (b), à esquerda de ambas):
- Para a placa da direita, com seu pillbox:
- Fluxo através da face interna esquerda (que fica na região entre as placas):
. - Fluxo através da face externa direita (fora, ao lado direito):
.
- Fluxo através da face interna esquerda (que fica na região entre as placas):
- Para a placa da esquerda, com área do box
- Observação importante sobre direções dos campos:
- Campo gerado pela placa da esquerda: na região externa à esquerda ele aponta para a esquerda (módulo
); na região entre as placas ele aponta para a direita (também ). - Campo gerado pela placa da direita: na região entre as placas ele aponta para a esquerda (módulo
); na região externa à direita aponta para a direita.
- Campo gerado pela placa da esquerda: na região externa à esquerda ele aponta para a esquerda (módulo
- Para calcular o campo total na região (b) (à esquerda de ambas), usamos superposição: somamos vetorialmente os campos individuais em cada ponto.
Passo 5
Somando as contribuições na região (b) — resultado físico e cálculo vetorial
- Defina um eixo
apontando para a direita. Então “para a esquerda” corresponde a . - Campo produzido pela placa da esquerda, na região (b): aponta para a esquerda, ou seja
- Campo produzido pela placa da direita, no mesmo ponto da região (b): também aponta para a esquerda (porque um ponto à esquerda da placa direita está do lado esquerdo dela e o campo sai para fora), assim
- Superpondo (somando vetorialmente):
- Em palavras: os dois campos apontam para a mesma direção (para a esquerda) e somam, dando módulo
direcionado para a esquerda.
Passo 6
Comentários finais, verificação rápida e justificativa da aproximação
- A condição
garante que podemos desprezar as bordas e tratar cada placa como “infinita” na região central, portanto a derivação com pillbox é válida. - Observação útil para a prova: entre as placas, os campos das duas placas se opõem (um para a direita, outro para a esquerda) e, como os módulos são iguais, o campo entre as placas é nulo se ambas tiverem a mesma densidade positiva
. Fora do par (nas região à esquerda e à direita de ambas), os campos se somam, resultando em módulo apontando para fora (para esquerda à esquerda das placas, para direita à direita das placas). - Já identificamos explicitamente as superfícies gaussianas usadas (pillboxes atravessando cada placa) e calculamos os fluxos através de cada face: em cada pillbox, o fluxo através de cada face plana vale
, conforme mostrado no Passo 3.