Em uma escala de temperatura x, a água congelada a -125°x e evapora a 375°x, em uma escala linear de temperatura y, a água congela a -70°y e evapora a -30°y. Uma temperatura de 50y corresponde a que temperatura na escala x?
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas escalas de temperatura diferentes: a escala x e a escala y. Na escala x, a água congela a -125°x e evapora a 375°x. Na escala y, a água congela a -70°y e evapora a -30°y. Queremos descobrir qual é a temperatura na escala x que corresponde a 50°y.
Para resolver isso, precisamos usar a relação entre as duas escalas, que é linear. Isso significa que podemos encontrar uma equação que relaciona as duas escalas usando dois pontos conhecidos de cada escala.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos que temos para cada escala:
-
Na escala x:
- Congelamento: (-125, 0) [Vamos considerar o ponto de congelamento como referência 0]
- Ebulição: (375, 1) [Vamos considerar o ponto de evaporação como referência 1]
-
Na escala y:
- Congelamento: (-70, 0)
- Ebulição: (-30, 1)
Esses pontos nos ajudam a estabelecer uma relação linear entre as duas escalas.
Passo 3
Vamos considerar que a relação entre as escalas pode ser expressa pela equação da forma:
Onde:
- $ x $ é a temperatura na escala x que queremos encontrar.
- $ y $ é a temperatura na escala y (neste caso, 50°y).
- $ a $ e $ b $ são constantes que vamos determinar usando os pontos conhecidos.
Passo 4
Para encontrar as constantes $ a $ e $ b $, vamos usar os pontos de congelamento e ebulição das duas escalas.
Usando o ponto de congelamento:
Usando o ponto de ebulição:
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas que podemos resolver.
Passo 5
Subtraindo a equação (1) da equação (2) para eliminar $ b $:
Passo 6
Agora que temos o valor de $ a $, podemos substituir em uma das equações para encontrar $ b $. Vamos usar a equação (1):
Passo 7
Com os valores de $ a $ e $ b $ determinados, a relação entre as escalas é:
Passo 8
Agora, substituímos $ y = 50 $ na equação para encontrar $ x $:
Resposta
Uma temperatura de 50°y corresponde a 1375°x na escala x.