Escalone e resolva os seguintes sistemas: \left\{\begin{array}{l}3 x-y+z=2 \\\ x-2 y-z=0 \\\\ 2 x+y+2 z=2\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede para escalonar e resolver o sistema linear abaixo:
\begin{cases} 3x - y + z = 2\\[4pt] x - 2y - z = 0\\[4pt] 2x + y + 2z = 2 \end{cases}
Informações dadas (cada equação listada):
\begin{aligned} \text{Equação (1): }& 3x - y + z = 2,\\[4pt] \text{Equação (2): }& x - 2y - z = 0,\\[4pt] \text{Equação (3): }& 2x + y + 2z = 2. \end{aligned}çãçãçã
O objetivo é: (i) escalonar o sistema (ou seja, levar a matriz aumentada a uma forma triangular por operações elementares de linha) e (ii) resolver o sistema, encontrando x, y e z (ou descrever a família de soluções, caso seja indeterminado).]
Passo 2
Vou montar a matriz aumentada do sistema e lembrar rapidamente as operações que podemos usar sem mudar o conjunto de soluções:
Permutar duas linhas (trocar a ordem das equações).
Multiplicar uma linha por um número não nulo.
Somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
Essas operações servem para eliminar incógnitas abaixo dos pivôs e obter uma forma escalonada. A seguir eu monto a matriz e faço passo a passo as operações, explicando a razão de cada uma.
Passo 3
Matriz aumentada do sistema (coeficientes e coluna das constantes):
É conveniente ter um pivô igual a 1 na primeira linha para evitar frações desnecessárias no início. Podemos trocar a linha 1 com a linha 2 (operação permitida). Após trocar R_1\leftrightarrow R_2 obtemos:
Explicação: uma linha toda zero indica que uma das equações é dependente das anteriores; o posto da matriz é 2 (duas linhas linearmente independentes), menor que o número de incógnitas 3, portanto o sistema tem infinitas soluções (grau de liberdade =3-2=1).]
Passo 7
Agora faço a resolução por substituição (retrossubstituição). Das linhas escalonadas obtemos o sistema equivalente:
\begin{aligned} \text{(a)}\;& x - 2y - z = 0,\\[4pt] \text{(b)}\;& 5y + 4z = 2,\\[4pt] \text{\text{(c)}}\;& 0 = 0 \;(\text{não dá nova informação}). \end{aligned}ãáçã
Como o número de incógnitas é maior que o número de equações independentes, escolhemos uma incógnita livre. Seja t o parâmetro livre e definimos