Escalone e resolva os seguintes sistemas:
\left\{\begin{array}{l}3 x-y+z=2 \\\ x-2 y-z=0 \\\\ 2 x+y+2 z=2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para escalonar e resolver o sistema linear abaixo:
\begin{cases} 3x - y + z = 2\\[4pt] x - 2y - z = 0\\[4pt] 2x + y + 2z = 2 \end{cases}
Informações dadas (cada equação listada):
\begin{aligned} \text{Equação (1): }& 3x - y + z = 2,\\[4pt] \text{Equação (2): }& x - 2y - z = 0,\\[4pt] \text{Equação (3): }& 2x + y + 2z = 2. \end{aligned}çãçãçã
O objetivo é: (i) escalonar o sistema (ou seja, levar a matriz aumentada a uma forma triangular por operações elementares de linha) e (ii) resolver o sistema, encontrando x, y e z (ou descrever a família de soluções, caso seja indeterminado).]

Passo 2

Vou montar a matriz aumentada do sistema e lembrar rapidamente as operações que podemos usar sem mudar o conjunto de soluções:
  • Permutar duas linhas (trocar a ordem das equações).
  • Multiplicar uma linha por um número não nulo.
  • Somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
Essas operações servem para eliminar incógnitas abaixo dos pivôs e obter uma forma escalonada. A seguir eu monto a matriz e faço passo a passo as operações, explicando a razão de cada uma.

Passo 3

Matriz aumentada do sistema (coeficientes e coluna das constantes):
\left[\begin{array}{ccc|c} 3 & -1 & 1 & 2\\[4pt] 1 & -2 & -1 & 0\\[4pt] 2 & 1 & 2 & 2 \end{array}\right]]

Passo 4

É conveniente ter um pivô igual a 1 na primeira linha para evitar frações desnecessárias no início. Podemos trocar a linha 1 com a linha 2 (operação permitida). Após trocar R_1\leftrightarrow R_2 obtemos:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & -1 & 0\\[4pt] 3 & -1 & 1 & 2\\[4pt] 2 & 1 & 2 & 2 \end{array}\right]
Agora o pivô em R_1 é 1.]

Passo 5

Elimino a incógnita x nas linhas 2 e 3 usando R_1.
  • Para zerar o elemento da coluna x em R_2 faço R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1.
    Calculemos cada entrada de R_2:
\begin{aligned} \text{coluna }x:&\; 3 - 3\cdot 1 = 0,\\[4pt] \text{coluna }y:&\; -1 - 3\cdot(-2) = -1 + 6 = 5,\\[4pt] \text{coluna }z:&\; 1 - 3\cdot(-1) = 1 + 3 = 4,\\[4pt] \text{constante:}&\; 2 - 3\cdot 0 = 2. \end{aligned}
Então R_2 vira [0\;5\;4\;|\;2].
  • Para zerar o elemento da coluna x em R_3 faço R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1.
    Calculemos cada entrada de R_3:
\begin{aligned} \text{coluna }x:&\; 2 - 2\cdot 1 = 0,\\[4pt] \text{coluna }y:&\; 1 - 2\cdot(-2) = 1 + 4 = 5,\\[4pt] \text{coluna }z:&\; 2 - 2\cdot(-1) = 2 + 2 = 4,\\[4pt] \text{constante:}&\; 2 - 2\cdot 0 = 2. \end{aligned}
Então R_3 também vira [0\;5\;4\;|\;2].
A matriz após essas operações é:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 5 & 4 & 2\\[4pt] 0 & 5 & 4 & 2 \end{array}\right]]

Passo 6

Agora temos duas linhas iguais ( R_2 e R_3). Para obter a forma escalonada, subtraio R_2 de R_3:
R_3 \leftarrow R_3 - R_2.
Isso dá R_3 = [0\;0\;0\;|\;0]. A matriz escalonada final (forma escalonada por linhas) é:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 5 & 4 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]
Explicação: uma linha toda zero indica que uma das equações é dependente das anteriores; o posto da matriz é 2 (duas linhas linearmente independentes), menor que o número de incógnitas 3, portanto o sistema tem infinitas soluções (grau de liberdade =3-2=1).]

Passo 7

Agora faço a resolução por substituição (retrossubstituição). Das linhas escalonadas obtemos o sistema equivalente:
\begin{aligned} \text{(a)}\;& x - 2y - z = 0,\\[4pt] \text{(b)}\;& 5y + 4z = 2,\\[4pt] \text{\text{(c)}}\;& 0 = 0 \;(\text{não dá nova informação}). \end{aligned}ãáçã
Como o número de incógnitas é maior que o número de equações independentes, escolhemos uma incógnita livre. Seja t o parâmetro livre e definimos
z = t,\qquad t\in\mathbb{R}.]

Passo 8

Resolvo a equação (b) para y em termos de t:
5y + 4z = 2 \quad\Longrightarrow\quad 5y + 4t = 2.
Isolando y:
5y = 2 - 4t \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{2 - 4t}{5}.
Expliquei: para isolar y subtraí 4t dos dois lados e dividi por 5.

Passo 9

Agora uso a equação (a) para obter x em termos de t. A equação (a) é
x - 2y - z = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 2y + z.
Substituo y = \dfrac{2-4t}{5} e z=t:
x = 2\cdot\frac{2 - 4t}{5} + t = \frac{4 - 8t}{5} + t.
Coloco t sobre o denominador 5: t = \dfrac{5t}{5}. Assim
x = \frac{4 - 8t + 5t}{5} = \frac{4 - 3t}{5}.

Passo 10

Reescrevendo as soluções em função do parâmetro t:
\begin{aligned} x &= \frac{4 - 3t}{5},\\[4pt] y &= \frac{2 - 4t}{5},\\[4pt] z &= t,\qquad t\in\mathbb{R}. \end{aligned}
Também posso escrever isso na forma vetor-paramétrica (particular + parâmetro vezes vetor direcional):
\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\tfrac{4}{5}\\[4pt]\tfrac{2}{5}\\[4pt]0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}-\tfrac{3}{5}\\[4pt]-\tfrac{4}{5}\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad t\in\mathbb{R}.
Isso mostra claramente que há uma reta de soluções no espaço (x,y,z).]

Resposta

x=\frac{4-3t}{5},\quad y=\frac{2-4t}{5},\quad z=t,\qquad t\in\mathbb{R}.

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