Classifique e resolva os sistemas: \left\{\begin{array}{l}4 x-6 y=0 \\\\ 6 x-9 y=0\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: classificar o sistema e encontrar todas as soluções. O sistema dado é
\begin{cases} 4x-6y=0\\[4pt] 6x-9y=0 \end{cases}
Informações relevantes que temos: ambas as equações são iguais a 0 (sistema homogêneo). Os coeficientes das variáveis nas duas equações são (4,-6) e (6,-9).]
Passo 2
Vou verificar se as duas equações são independentes ou se uma é múltiplo da outra — isso decide se o sistema tem solução única, infinitas soluções ou nenhuma. Uma forma simples de testar independência para um sistema 2\times2 é calcular o determinante da matriz dos coeficientes. A matriz dos coeficientes é
O determinante de uma matriz 2\times2\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{pmatrix} é dado por ad-bc. Aqui a=4, b=-6, c=6, d=-9.]
Passo 3
Calculo do determinante:
\det(A)=4\cdot(-9)-6\cdot(-6)=-36-(-36)=0.
Explicação do que isso significa: para um sistema linear A\mathbf{x}=\mathbf{b} com 2\times2, se \det(A)\neq0 há solução única; se \det(A)=0 as equações são linearmente dependentes e o sistema pode ter nenhuma ou infinitas soluções. Como o nosso sistema é homogêneo (\mathbf{b}=\mathbf{0}), ele sempre tem pelo menos a solução trivial (x,y)=(0,0). Logo, quando \det(A)=0 e o sistema é homogêneo, ele tem infinitas soluções.
Passo 4
Outra forma direta de ver a dependência das equações: multiplico a primeira equação por \tfrac{3}{2}:
\tfrac{3}{2}\,(4x-6y)=6x-9y,
que é exatamente a segunda equação (à direita estava 6x-9y). Isso mostra explicitamente que a segunda equação é múltiplo da primeira, ou seja, as duas fornecem a mesma informação.
Passo 5
Para encontrar as soluções, basta resolver uma das equações (já que a outra é redundante). Uso a primeira equação:
4x-6y=0.
Posso simplificar dividindo ambos os lados por 2:
2x-3y=0.
Passo 6
Agora isolo uma variável em função da outra. Por exemplo, isolo x:
2x=3y\quad\Rightarrow\quad x=\tfrac{3}{2}y.
Como há infinitas soluções, introduzo um parâmetro real t para representar y. Seja y=t com t\in\mathbb{R}. Então
x=\tfrac{3}{2}t,\qquad y=t.
Passo 7
Escrevendo a solução em forma paramétrica (vetorial) fica