Escalone e resolva os seguintes sistemas:
\left\{\begin{array}{l}2 x-y+z=-1 \\\\ -x-4 y-3 z=2 \\\\ 3 x+3 y+4 z=3\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para escalonar e resolver o sistema
\left\{\begin{array}{l} 2x - y + z = -1\\[4pt] - x - 4y - 3z = 2\\[4pt] 3x + 3y + 4z = 3 \end{array}\right.
Informações dadas:
\begin{cases} \text{Equação 1: } 2x - y + z = -1,\\[4pt] \text{Equação 2: } -x - 4y - 3z = 2,\\[4pt] \text{Equação 3: } 3x + 3y + 4z = 3. \end{cases}çãçãçã
O que se pede: transformar o sistema em forma escalonada (escalonar) usando operações elementares e, a partir daí, determinar as soluções (se existirem).]

Passo 2

Vou escrever a matriz aumentada do sistema. A matriz aumentada contém as colunas dos coeficientes seguidas da coluna dos termos independentes:
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & -1 & 1 & -1\\[4pt] -1 & -4 & -3 & 2\\[4pt] 3 & 3 & 4 & 3 \end{array}\right]
Explicação rápida: cada linha corresponde a uma equação; as três primeiras colunas são os coeficientes de x,y,z e a última coluna é o lado direito.]

Passo 3

Explico as operações elementares que vou usar (são as permitidas sem alterar o conjunto solução):
  1. trocar duas linhas,
  2. multiplicar uma linha por um número não nulo,
  3. somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
Escolho primeiro obter um pivô igual a 1 na primeira coluna para eliminar x nas outras linhas sem introduzir frações complicadas.

Passo 4

Multiplico a segunda linha por -1 (operação 2) para obter coeficiente 1 em x na linha 2:
linha 2 original (-1,-4,-3\mid 2) fica
(1,\,4,\,3\mid -2).
A matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & -1 & 1 & -1\\[4pt] 1 & 4 & 3 & -2\\[4pt] 3 & 3 & 4 & 3 \end{array}\right]]

Passo 5

Agora troco a linha 1 com a linha 2 (operação 1), para ter o pivô 1 na primeira linha:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 4 & 3 & -2\\[4pt] 2 & -1 & 1 & -1\\[4pt] 3 & 3 & 4 & 3 \end{array}\right]
Agora uso essa primeira linha para eliminar x nas linhas 2 e 3.]

Passo 6

Eliminação da coluna x:
  • Faço \text{R}_2 := \text{R}_2 - 2\text{R}_1.
    Cálculo componente a componente:
\begin{array}{l} 2 - 2\cdot 1 = 0,\\[4pt] -1 - 2\cdot 4 = -1 - 8 = -9,\\[4pt] 1 - 2\cdot 3 = 1 - 6 = -5,\\[4pt] -1 - 2\cdot(-2) = -1 + 4 = 3. \end{array}
Portanto \text{R}_2 vira (0,\,-9,\,-5\mid 3).
  • Faço \text{R}_3 := \text{R}_3 - 3\text{R}_1.
    Cálculo:
\begin{array}{l} 3 - 3\cdot 1 = 0,\\[4pt] 3 - 3\cdot 4 = 3 - 12 = -9,\\[4pt] 4 - 3\cdot 3 = 4 - 9 = -5,\\[4pt] 3 - 3\cdot(-2) = 3 + 6 = 9. \end{array}
Portanto \text{R}_3 vira (0,\,-9,\,-5\mid 9).
A matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 4 & 3 & -2\\[4pt] 0 & -9 & -5 & 3\\[4pt] 0 & -9 & -5 & 9 \end{array}\right]]

Passo 7

Eliminação da coluna y na linha 3 usando a linha 2:
Faço \text{R}_3 := \text{R}_3 - \text{R}_2.
Cálculo:
\begin{array}{l} 0 - 0 = 0,\\[4pt] -9 - (-9) = 0,\\[4pt] -5 - (-5) = 0,\\[4pt] 9 - 3 = 6. \end{array}
Então \text{R}_3 vira (0,\,0,\,0\mid 6).
A matriz agora é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 4 & 3 & -2\\[4pt] 0 & -9 & -5 & 3\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 6 \end{array}\right]]

Passo 8

Interpretação do que apareceu: a terceira linha corresponde à equação
0\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z = 6,
ou seja \,0 = 6, que é uma contradição. Quando, ao escalonar, obtém-se uma linha com todos os coeficientes 0 e termo independente diferente de zero, isso significa que o sistema é inconsistente — não existe nenhum triplo (x,y,z) que satisfaça simultaneamente todas as equações.
Portanto não há solução; o escalonamento revelou uma contradição.

Resposta

Sistema inconsistente — não existe solução.

Exercícios relacionados