O ar escoa através de um tubo a uma vazão de 120 \mathrm{~L} / \mathrm{s}. O tubo consiste em duas sessões 1 e 2 de 20 cm e 10 cm , respectivamente. A diferença de pressão entre as duas sessões é medida por um manômetro diferencial de água. Determine a altura diferencial de água entre as duas sessões da tubulação. Tome a densidade do ar como 1,2 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e da água como 1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. Além disso, considere os seguintes pressupostos: (i) O fluxo através do tubo é constante, incompressível e irrotacional com atrito desprezível; (ii) As perdas na seção de redução são insignificantes; e, (iii) A diferença de pressão na coluna de ar é insignificante por causa da baixa densidade do ar e, portanto, a coluna de ar no manômetro pode ser ignorada ( \mathbf{2 , 5} pontos).

Passo 1

O enunciado dá uma vazão volumétrica de ar Q=120\\ \mathrm{L/s} que passa por duas seções de diâmetros D_{1}=20\\ \mathrm{cm} e D_{2}=10\\ \mathrm{cm}. Sob as hipóteses de fluxo estacionário, incompressível, irrotacional e sem atrito, podemos aplicar a equação de Bernoulli entre as seções 1 e 2 para obter a diferença de pressão \Delta p = p_{1}-p_{2}. Essa diferença de pressão é suportada por uma coluna de água no manômetro, de modo que a altura \Delta h de água satisfaz \Delta p = \rho_{\mathrm{água}}\,g\,\Delta há. Vamos então (i) calcular as velocidades nas duas seções, (ii) obter \Delta p pela fórmula de Bernoulli e (iii) converter em \Delta h.

Passo 2

Calculamos primeiro as áreas das seções e, em seguida, as velocidades:
A_{1} = \frac{\pi D_{1}^{2}}{4} \quad,\quad A_{2} = \frac{\pi D_{2}^{2}}{4}
Convertendo as unidades:
Q = 120\\ \mathrm{L/s} = 0{,}12\\ \mathrm{m^{3}/s}, \quad D_{1}=0{,}20\\ \mathrm{m}, \quad D_{2}=0{,}10\\ \mathrm{m}.
Logo,
A_{1} = \frac{\pi\,(0{,}20)^{2}}{4}\approx0{,}03142\\ \mathrm{m^{2}}, \quad A_{2} = \frac{\pi\,(0{,}10)^{2}}{4}\approx0{,}00785\\ \mathrm{m^{2}}.
As velocidades são
v_{1} = \frac{Q}{A_{1}}\approx\frac{0{,}12}{0{,}03142}\approx3{,}82\\ \mathrm{m/s}, \quad v_{2} = \frac{Q}{A_{2}}\approx\frac{0{,}12}{0{,}00785}\approx15{,}28\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Pela equação de Bernoulli entre as seções 1 e 2 (mesma cota, sem perdas),
p_{1} + \tfrac{1}{2}\,\rho_{\mathrm{ar}}\,v_{1}^{2} = p_{2} + \tfrac{1}{2}\,\rho_{\mathrm{ar}}\,v_{2}^{2},
logo
\Delta p = p_{1}-p_{2} = \tfrac{1}{2}\,\rho_{\mathrm{ar}}\bigl(v_{2}^{2}-v_{1}^{2}\bigr).
Tomando \rho_{\mathrm{ar}}=1{,}2\\ \mathrm{kg/m^{3}},
\Delta p = \tfrac{1}{2}\times1{,}2\bigl(15{,}28^{2}-3{,}82^{2}\bigr) \approx131{,}3\\ \mathrm{Pa}.

Passo 4

A altura \Delta h de água que equilibra essa pressão num manômetro é dada por
\Delta p = \rho_{\mathrm{água}}\,g\,\Delta h \quad\Longrightarrow\quad \Delta h = \frac{\Delta p}{\rho_{\mathrm{água}}\,g}.áá
Com \rho_{\mathrm{água}}=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}á e g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}},
\Delta h \approx \frac{131{,}3}{1000\times9{,}81} \approx0{,}0134\\ \mathrm{m}.

Resposta

A diferença de altura da coluna de água é aproximadamente 0{,}0134\\ \mathrm{m} (ou 1{,}34\\ \mathrm{cm}).

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