(Valor da questão: 10 pontos/item) Ar escoa a 100{ }^{\circ} \mathrm{C} e 1 atm , com velocidade de 5 \mathrm{~m} \cdot \mathrm{~s}^{-1}, sobre uma placa plana de naftaleno com 3 m de comprimento, ocasionando sua sublimação.
a) Determine o comprimento no qual a camada limite laminar persiste;
b) Para este comprimento, determine a taxa de transferência de massa do naftaleno no ar;
Dados: Pressão de vapor do nafatleno, p_{\text {vapor }}=10 torr; viscosidade do ar, \mu=0,0215 \mathrm{cP}; densidade molar do ar, \rho=0,0327 \mathrm{kmol} \cdot \mathrm{m}^{-3}; Difusividade do naftaleno no ar, D_{n-a r}=0,94 \times 10^{-5} \mathrm{~m}^{2} \cdot \mathrm{~s}^{-1}.

Passo 1

O enunciado descreve escoamento de ar a 100^\circ\mathrm{C} e 1 atm, com velocidade U=5,m/s, sobre uma placa de naftaleno de comprimento total L_{\text{placa}}=3,m, causando sublimação.
Precisamos:
– determinar até que distância x a camada limite permanece laminar (critério de transição em Re _x\approx5\times10^5);
– para essa distância, calcular a taxa de transferência de massa de naftaleno usando correlações para escoamento laminar sobre placa plana (número de Sherwood).

Passo 2

Primeiro convertendo os dados para unidades SI:
– viscosidade dinâmica do ar:
\mu = 0{,}0215\;\mathrm{cP} = 0{,}0215\times10^{-3}\;\mathrm{Pa\cdot s} = 2{,}15\times10^{-5}\;\mathrm{Pa\cdot s}.
– densidade molar do ar: \rho_m = 0{,}0327\;\mathrm{kmol/m^3}=32{,}7\;\mathrm{mol/m^3}.
Massa molar do ar M_{\text{ar}}=0{,}02896\;\mathrm{kg/mol}, logo
\rho = \rho_m\times M_{\text{ar}} =32{,}7\;\mathrm{mol/m^3}\times0{,}02896\;\mathrm{kg/mol} =0{,}946\;\mathrm{kg/m^3}.
– difusividade do naftaleno no ar:
D = 0{,}94\times10^{-5}\;\mathrm{m^2/s}.

Passo 3

A transição para turbulento na placa costuma ocorrer em \mathrm{Re}_x = \dfrac{\rho\,U\,x}{\mu}\approx5\times10^5.
Isolando x:
x_{\text{crit}} = \frac{\mathrm{Re}_{\text{crit}}\;\mu}{\rho\,U} = \frac{5\times10^5\times2{,}15\times10^{-5}}{0{,}946\times5} \approx2{,}27\;\mathrm{m}.
Como 2{,}27<3, a camada limite permanece laminar até x_{\text{crit}}\approx2{,}27,m.

Passo 4

No regime laminar sobre placa plana, o número de Sherwood médio em x_{\text{crit}} é
\overline{\mathrm{Sh}}_L =0{,}664\,\mathrm{Re}_L^{1/2}\,\mathrm{Sc}^{1/3},
onde \mathrm{Re}_L=\rho U L/\mu e \mathrm{Sc}=\mu/(\rho D).
– calculando \mathrm{Sc}:
\mathrm{Sc} =\frac{2{,}15\times10^{-5}}{0{,}946\times0{,}94\times10^{-5}} \approx2{,}42.
– em L=x_{\text{crit}}, \mathrm{Re}_L=5\times10^5.
– portanto
\overline{\mathrm{Sh}}_L =0{,}664\,(5\times10^5)^{1/2}\,(2{,}42)^{1/3} \approx632{,}6.
O coeficiente de transferência de massa médio é
k_c =\frac{\overline{\mathrm{Sh}}_L\,D}{L} =\frac{632{,}6\times0{,}94\times10^{-5}}{2{,}27} \approx2{,}62\times10^{-3}\;\mathrm{m/s}.

Passo 5

A concentração de naftaleno na superfície vem da pressão de vapor p_{\text{vap}}=10 torr ( 1,torr =133,322 Pa):
p_s =10\times133,322=1333,2\;\mathrm{Pa},\quad y_s=\frac{p_s}{p_{\infty}}=\frac{1333,2}{101325}\approx0{,}01316.
A concentração total de a r+naftaleno é
C_{\text{tot}}=\frac{p_{\infty}}{R\,T} =\frac{101325}{8,314\times373} \approx32{,}7\;\mathrm{mol/m^3},
logo concentração de naftaleno na superfície
C_s = y_s\,C_{\text{tot}} \approx0{,}01316\times32{,}7 \approx0{,}430\;\mathrm{mol/m^3},
e no escoamento livre C_\infty\approx0.
O fluxo molar (por área) é
\dot j = k_c\,(C_s - C_\infty) \approx2{,}62\times10^{-3}\times0{,}430 \approx1{,}13\times10^{-3}\;\mathrm{mol/(m^2\cdot s)}.
Para a região laminar de comprimento 2{,}27,m e largura unitária, a taxa total molar é
\dot N =\dot j \times L \approx1{,}13\times10^{-3}\times2{,}27 \approx2{,}56\times10^{-3}\;\mathrm{mol/s}.
Em massa de naftaleno ( M=128{,}17,g/mol):
\dot m =\dot N\times128{,}17\times10^{-3} \approx3{,}28\times10^{-4}\;\mathrm{kg/s}.

Resposta

a) A camada limite laminar persiste até x_{\text{crit}}\approx2{,}27,m.
b) Para esse comprimento, a taxa de transferência de massa de naftaleno é
– fluxo molar por área \dot j\approx1{,}13\times10^{-3},mol/ m^{2}·s;
– taxa molar total (por metro de largura) \dot N\approx2{,}56\times10^{-3},mol/s (ou \dot m\approx3{,}28\times10^{-4},kg/s).

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