A parede composta de um forno consiste de três materiais, dois dos quais com condutividade térmica ( \mathrm{kA}=50 \mathrm{W} / \mathrm{mK} e \mathrm{kc}=80 \mathrm{~W} / \mathrm{mK} ) e espessura ( \mathrm{LA}=0,30 \mathrm{~m} e \mathrm{Lc}=0,15 \mathrm{~m} ) conhecidas. O terceiro material ( B ), que fica entre A e C, possui espessura conhecida ( L B=0,15 \mathrm{~m} ), mas a sua condutividade térmica ( k B ) é desconhecida. Sob condições de operação em regime estacionário, medições revelam uma temperatura da superfície externa do forno T s, e=40^{\circ} \mathrm{C}, uma temperatura na superfície interna T s, i=600^{\circ} \mathrm{C} e uma temperatura no interior do forno T_{\infty}= 800^{\circ} \mathrm{C}. O coeficiente convectivo interno h=150 \mathrm{~W} / \mathrm{m} 2 \mathrm{~K}. Qual o valor e de \mathrm{kB} \mathrm{em}(\mathrm{W} / \mathrm{m} \mathrm{K}) ?

Passo 1

O enunciado descreve uma parede composta por três camadas em série (A, B e C) sujeita a regime estacionário. As propriedades conhecidas são
– para a camada A: k_{A}=50\\ \mathrm{W/mK}, L_{A}=0{,}30\\ \mathrm{m}
– para a camada B: k_{B} desconhecido, L_{B}=0{,}15\\ \mathrm{m}
– para a camada C: k_{C}=80\\ \mathrm{W/mK}, L_{C}=0{,}15\\ \mathrm{m}
Mediram-se as temperaturas
– interna do gás: T_{\infty}=800\,^{\circ}\mathrm{C}
– superfície interna: T_{s,i}=600\,^{\circ}\mathrm{C}
– superfície externa: T_{s,e}=40\,^{\circ}\mathrm{C}
e o coeficiente convectivo interno h=150\\ \mathrm{W/m^{2}K}.
Conteúdo a usar: resistência térmica por convecção e condução em série e balanço de fluxo de calor.

Passo 2

Vamos calcular o fluxo de calor por unidade de área, q'', imposto pela convecção interna:
q'' \;=\; h\,\bigl(T_{\infty}-T_{s,i}\bigr).
Substituindo os valores:
q'' = 150\,(800 - 600) = 150 \times 200 = 30000\\ \mathrm{W/m^{2}}.

Passo 3

A resistência térmica total por metro quadrado, R_{\mathrm{tot}}, é a soma das resistências de condução nas três camadas:
R_{\mathrm{tot}} = \frac{L_{A}}{k_{A}} + \frac{L_{B}}{k_{B}} + \frac{L_{C}}{k_{C}}.
Em regime estacionário, o mesmo fluxo conduzido satisfaz
q'' = \frac{T_{s,i}-T_{s,e}}{R_{\mathrm{tot}}}.

Passo 4

Isolando R_{\mathrm{tot}} e substituindo q'' e as temperaturas:
R_{\mathrm{tot}} = \frac{T_{s,i}-T_{s,e}}{q''} = \frac{600 - 40}{30000} = \frac{560}{30000} \approx 0{,}018667\\ \mathrm{m^{2}K/W}.
Logo,
0{,}018667 = \frac{0{,}30}{50} + \frac{0{,}15}{k_{B}} + \frac{0{,}15}{80} = 0{,}006 + \frac{0{,}15}{k_{B}} + 0{,}001875.
Daí,
\frac{0{,}15}{k_{B}} = 0{,}018667 - 0{,}007875 = 0{,}010792 \quad\Longrightarrow\quad k_{B} = \frac{0{,}15}{0{,}010792} \approx 13{,}9\\ \mathrm{W/mK}.

Resposta

O valor de k_{B} é aproximadamente 13{,}9\\ \mathrm{W/mK}.

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