O ar escoa através de um tubo a uma vazão de 220 \mathrm{~L} / \mathrm{s}. O tubo consiste em duas seções de 22 cm e de 10 cm de diâmetro com uma seção de redução suave que as conecta. A diferença de pressão entre as duas secções do tubo é medida por um manômetro de água. Desprezando atritos, determine:
a) A expressão algébrica para calcular a altura diferencial de água entre as duas seções da tubulação em função da vazão no SI.
Tome a densidade do ar como 1,20 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}.

Passo 1

O enunciado nos dá e pede o seguinte (vou listar tudo explicitamente):
  • Vazão volumétrica: Q=220\\ \mathrm{L/s}=0,220\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Diâmetros das duas seções: d_1=22\\ \mathrm{cm}=0,22\\ \mathrm{m} (seção 1, maior), d_2=10\\ \mathrm{cm}=0,10\\ \mathrm{m} (seção 2, menor).
  • Densidade do ar: \rho_a=1,20\\ \mathrm{kg/m^3} (fornecida).
  • Manômetro de água mede a diferença de pressão entre as duas seções. Vamos desprezar atrito conforme o enunciado.
  • Tomarei a densidade da água como \rho_w=1000\\ \mathrm{kg/m^3} (valor padrão; como não foi dado, uso esse valor usual).
  • A gravidade vale g=9,81\\ \mathrm{m/s^2}.
O que o problema pede:
  • (a) Encontrar a expressão algébrica para a altura diferencial de água \Delta h (altura entre as superfícies do manômetro) em função da vazão Q no SI.

Passo 2

Relação de continuidade (conservação de massa) para fluxo incompressível: a velocidade média numa seção é a vazão dividida pela área da seção transversal. Definindo as áreas
A_i=\frac{\pi d_i^2}{4}\quad(i=1,2),
temos as velocidades médias
v_1=\frac{Q}{A_1},\qquad v_2=\frac{Q}{A_2}.
Expliquei: Q é m^3/s, A é m^2, logo v fica em m/s.

Passo 3

Bernoulli entre as duas seções (desprezando atrito e diferença de altitude entre os pontos de pressão):
p_1+\tfrac{1}{2}\rho_a v_1^2 = p_2+\tfrac{1}{2}\rho_a v_2^2.
Isolando a diferença de pressão obtemos
p_1-p_2 = \tfrac{1}{2}\rho_a\left(v_2^2-v_1^2\right).
Expliquei: p_1 e p_2 são as pressões estáticas nas seções 1 e 2; a expressão acima vem diretamente do princípio de Bernoulli aplicando o ar como fluido de densidade \rho_a.

Passo 4

Relação do manômetro: a diferença de pressão entre os pontos de conexão é equilibrada pela coluna de líquido do manômetro. Para um manômetro com fluido de densidade \rho_w e superfícies em alturas diferentes, tem-se (assumindo que as tomadas de pressão estão no mesmo nível geométrico):
p_1-p_2 = \rho_w g\,\Delta h,
onde \Delta h é a diferença de alturas do fluido do manômetro entre os dois braços (definida aqui como \Delta h = h_2-h_1, com sinal conforme esta equação). Expliquei: é a lei hidrostática que relaciona diferença de pressão à diferença de coluna de líquido.

Passo 5

Igualando as duas expressões para p_1-p_2 (Bernoulli e manômetro) obtemos
\rho_w g\,\Delta h = \tfrac{1}{2}\rho_a\left(v_2^2-v_1^2\right).
Daí:
\Delta h = \frac{\rho_a}{2\rho_w g}\left(v_2^2-v_1^2\right).
Comentário: esta é a forma imediata que liga a diferença de velocidade (dinâmica) à diferença de coluna de água medida.

Passo 6

Substituímos v_i=Q/A_i. Assim
v_2^2-v_1^2 = Q^2\!\left(\frac{1}{A_2^2}-\frac{1}{A_1^2}\right).
Logo a expressão em função de Q é
\Delta h = \frac{\rho_a}{2\rho_w g}\,Q^2\!\left(\frac{1}{A_2^2}-\frac{1}{A_1^2}\right).
Usando A_i=\dfrac{\pi d_i^2}{4} (para escrever em função dos diâmetros) temos \dfrac{1}{A_i^2}=\dfrac{16}{\pi^2 d_i^4}. Substituindo:
\Delta h = \frac{\rho_a}{2\rho_w g}\;Q^2\;\frac{16}{\pi^2}\left(\frac{1}{d_2^4}-\frac{1}{d_1^4}\right).
Podemos simplificar o fator numérico:
\Delta h = \frac{8\,\rho_a}{\rho_w g\,\pi^2}\;Q^2\left(\frac{1}{d_2^4}-\frac{1}{d_1^4}\right).

Passo 7

Se desejar uma forma numérica compacta (com os valores fornecidos e \rho_w=1000\\ \mathrm{kg/m^3}, g=9,81\\ \mathrm{m/s^2}, d_1=0,22\\ \mathrm{m}, d_2=0,10\\ \mathrm{m}, \rho_a=1,20\\ \mathrm{kg/m^3}), substituindo e simplificando obtém-se aproximadamente
\Delta h \approx 0{,}94948\;Q^2,
onde Q está em \mathrm{m^3/s} e \Delta h em metros. (Ex.: para Q=0,220\\ \mathrm{m^3/s} isso dá \Delta h\approx0{,}04596\\ \mathrm{m}\approx4{,}60\\ \mathrm{cm}.)

Resposta

\displaystyle \Delta h=\frac{\rho_a}{2\,\rho_w\,g}\;Q^2\!\left(\frac{1}{A_2^2}-\frac{1}{A_1^2}\right)
\displaystyle \text{ou}\quad \Delta h=\frac{8\,\rho_a}{\rho_w g\,\pi^2}\;Q^2\!\left(\frac{1}{d_2^4}-\frac{1}{d_1^4}\right)
\displaystyle \text{(com os valores dados e }\rho_w=1000\\ \mathrm{kg/m^3}\text{)}\quad \Delta h\approx0{,}94948\,Q^2\\ \text{(m, com }Q\text{ em m}^3\!/s)}

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