O ar escoa através de um tubo a uma vazão de
. O tubo consiste em duas seções de 22 cm e de 10 cm de diâmetro com uma seção de redução suave que as conecta. A diferença de pressão entre as duas secções do tubo é medida por um manômetro de água. Desprezando atritos, determine:
a) A expressão algébrica para calcular a altura diferencial de água entre as duas seções da tubulação em função da vazão no SI.
Tome a densidade do ar como
.
a) A expressão algébrica para calcular a altura diferencial de água entre as duas seções da tubulação em função da vazão no SI.
Tome a densidade do ar como
Passo 1
O enunciado nos dá e pede o seguinte (vou listar tudo explicitamente):
- Vazão volumétrica:
. - Diâmetros das duas seções:
(seção 1, maior), (seção 2, menor). - Densidade do ar:
(fornecida). - Manômetro de água mede a diferença de pressão entre as duas seções. Vamos desprezar atrito conforme o enunciado.
- Tomarei a densidade da água como
(valor padrão; como não foi dado, uso esse valor usual). - A gravidade vale
.
O que o problema pede:
- (a) Encontrar a expressão algébrica para a altura diferencial de água
(altura entre as superfícies do manômetro) em função da vazão no SI.
Passo 2
Relação de continuidade (conservação de massa) para fluxo incompressível: a velocidade média numa seção é a vazão dividida pela área da seção transversal. Definindo as áreas
temos as velocidades médias
Expliquei:
é m^3/s,
é m^2, logo
fica em m/s.
Passo 3
Bernoulli entre as duas seções (desprezando atrito e diferença de altitude entre os pontos de pressão):
Isolando a diferença de pressão obtemos
Expliquei:
e
são as pressões estáticas nas seções 1 e 2; a expressão acima vem diretamente do princípio de Bernoulli aplicando o ar como fluido de densidade
.
Passo 4
Relação do manômetro: a diferença de pressão entre os pontos de conexão é equilibrada pela coluna de líquido do manômetro. Para um manômetro com fluido de densidade
e superfícies em alturas diferentes, tem-se (assumindo que as tomadas de pressão estão no mesmo nível geométrico):
onde
é a diferença de alturas do fluido do manômetro entre os dois braços (definida aqui como
, com sinal conforme esta equação). Expliquei: é a lei hidrostática que relaciona diferença de pressão à diferença de coluna de líquido.
Passo 5
Igualando as duas expressões para
(Bernoulli e manômetro) obtemos
Daí:
Comentário: esta é a forma imediata que liga a diferença de velocidade (dinâmica) à diferença de coluna de água medida.
Passo 6
Substituímos
. Assim
Logo a expressão em função de
é
Usando
(para escrever em função dos diâmetros) temos
. Substituindo:
Podemos simplificar o fator numérico:
Passo 7
Se desejar uma forma numérica compacta (com os valores fornecidos e
,
,
,
,
), substituindo e simplificando obtém-se aproximadamente
onde
está em
e
em metros. (Ex.: para
isso dá
.)