Um padrào de escoamento incompressivel permanente é dado por v_{x}=x^{3}+2 z^{2} e v_{z}=y^{3}-2 y z. Qual é a forma mais geral do terceiro componente, v_{y}, que satisfaz a continuidade?

Passo 1

O enunciado dá um escoamento incompressível e permanente com duas componentes do campo de velocidades conhecidas e pede a forma mais geral da terceira componente. Informações e pedidos extraídos do enunciado:
  • Foi dado v_{x} = x^{3} + 2 z^{2}.
  • Foi dado v_{z} = y^{3} - 2 y z.
  • O escoamento é incompressível e permanente, portanto deve satisfazer a equação de continuidade (divergência nula).
  • O que se pede: encontrar a forma mais geral de v_{y} que satisfaça a continuidade, ou seja, a família geral de funções v_{y}(x,y,z) compatível com os dados.

Passo 2

Lembrete da equação de continuidade para um escoamento incompressível (significado e fórmula).
  • Significado rápido: incompressível significa que o fluido não varia localmente de densidade — o volume que entra em uma pequena região por unidade de tempo é igual ao volume que sai. Matematicamente isso é a divergência do campo de velocidades igual a zero.
  • Fórmula (em coordenadas cartesianas):
\frac{\partial v_{x}}{\partial x}+\frac{\partial v_{y}}{\partial y}+\frac{\partial v_{z}}{\partial z}=0.
Aqui cada termo é uma derivada parcial da componente de velocidade em relação à sua coordenada correspondente.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais necessárias a partir das componentes dadas.
  • Derivada parcial de v_{x} em relação a x:
\frac{\partial v_{x}}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{3}+2 z^{2}\bigr)=3x^{2}.
Explicação: 2 z^{2} é independente de x, então sua derivada em relação a x é zero; a derivada de x^{3} é 3x^{2}.
  • Derivada parcial de v_{z} em relação a z:
\frac{\partial v_{z}}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\bigl(y^{3}-2 y z\bigr)=-2y.
Explicação: y^{3} é independente de z (derivada zero); para -2yz a derivada em z é -2y (trata y como constante).

Passo 4

Substituir as derivadas na equação de continuidade para obter uma equação para \partial v_{y}/\partial y.
  • A equação de continuidade torna-se:
3x^{2}+\frac{\partial v_{y}}{\partial y}-2y=0.
  • Isolar \dfrac{\partial v_{y}}{\partial y}:
\frac{\partial v_{y}}{\partial y}=-3x^{2}+2y.
Explicação: somou-se as derivadas já calculadas e passou-se para o outro lado para obter a derivada parcial de v_{y} em função de x e y.

Passo 5

Integrar em relação a y para obter v_{y}.
  • Integração direta (integrando \partial v_{y}/\partial y em y):
v_{y}(x,y,z)=\int\bigl(-3x^{2}+2y\bigr)\,dy = -3x^{2}y + y^{2} + C(x,z).
  • Explicação didática do termo C(x,z): ao integrar uma derivada parcial em relação a y, a “constante” de integração pode ser qualquer função que não dependa de y. Assim a família geral de soluções inclui uma função arbitrária C(x,z) (dependendo apenas de x e z) porque sua derivada parcial em y é zero e, portanto, não altera a equação de continuidade.

Passo 6

Verificação rápida (checar que a solução satisfaz a continuidade).
  • Calcular \dfrac{\partial v_{y}}{\partial y} a partir da solução encontrada:
\frac{\partial v_{y}}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(-3x^{2}y+y^{2}+C(x,z)\bigr)=-3x^{2}+2y,
pois \partial C/\partial y=0.
  • Somando as três derivadas:
\frac{\partial v_{x}}{\partial x}+\frac{\partial v_{y}}{\partial y}+\frac{\partial v_{z}}{\partial z}=3x^{2}+(-3x^{2}+2y)+(-2y)=0,
logo a continuidade é satisfeita para qualquer C(x,z).

Passo 7

Comentário final e exemplo prático (para te dar confiança).
  • A forma mais geral de v_{y} é v_{y}=-3x^{2}y+y^{2}+C(x,z).
  • Exemplo particular: se escolher C(x,z)=0 obtém-se a solução simples v_{y}=-3x^{2}y+y^{2}. Se houver condições de contorno específicas numa prova (por exemplo valor de v_{y} em uma superfície), essas condições determinariam C(x,z).

Resposta

v_{y}(x,y,z) = -3x^{2}y + y^{2} + C(x,z)

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