Um padrào de escoamento incompressivel permanente é dado por
e
. Qual é a forma mais geral do terceiro componente,
, que satisfaz a continuidade?
Passo 1
O enunciado dá um escoamento incompressível e permanente com duas componentes do campo de velocidades conhecidas e pede a forma mais geral da terceira componente. Informações e pedidos extraídos do enunciado:
- Foi dado
. - Foi dado
. - O escoamento é incompressível e permanente, portanto deve satisfazer a equação de continuidade (divergência nula).
- O que se pede: encontrar a forma mais geral de
que satisfaça a continuidade, ou seja, a família geral de funções compatível com os dados.
Passo 2
Lembrete da equação de continuidade para um escoamento incompressível (significado e fórmula).
- Significado rápido: incompressível significa que o fluido não varia localmente de densidade — o volume que entra em uma pequena região por unidade de tempo é igual ao volume que sai. Matematicamente isso é a divergência do campo de velocidades igual a zero.
- Fórmula (em coordenadas cartesianas):
Aqui cada termo é uma derivada parcial da componente de velocidade em relação à sua coordenada correspondente.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais necessárias a partir das componentes dadas.
- Derivada parcial de
em relação a :
Explicação:
é independente de
, então sua derivada em relação a
é zero; a derivada de
é
.
- Derivada parcial de
em relação a :
Explicação:
é independente de
(derivada zero); para
a derivada em
é
(trata
como constante).
Passo 4
Substituir as derivadas na equação de continuidade para obter uma equação para
.
- A equação de continuidade torna-se:
- Isolar
:
Explicação: somou-se as derivadas já calculadas e passou-se para o outro lado para obter a derivada parcial de
em função de
e
.
Passo 5
Integrar em relação a
para obter
.
- Integração direta (integrando
em ):
- Explicação didática do termo
: ao integrar uma derivada parcial em relação a , a “constante” de integração pode ser qualquer função que não dependa de . Assim a família geral de soluções inclui uma função arbitrária (dependendo apenas de e ) porque sua derivada parcial em é zero e, portanto, não altera a equação de continuidade.
Passo 6
Verificação rápida (checar que a solução satisfaz a continuidade).
- Calcular
a partir da solução encontrada:
pois
.
- Somando as três derivadas:
logo a continuidade é satisfeita para qualquer
.
Passo 7
Comentário final e exemplo prático (para te dar confiança).
- A forma mais geral de
é . - Exemplo particular: se escolher
obtém-se a solução simples . Se houver condições de contorno específicas numa prova (por exemplo valor de em uma superfície), essas condições determinariam .