Mostre que o escoamento uniforme F(z)=U_{\infty} e^{-i \alpha} z é:
incompressível em todo o plano z ;

Passo 1

O enunciado dá a função complexa
F(z)=U_{\infty} e^{-i\alpha} z,
onde U_{\infty} e \alpha são constantes reais, e pede para mostrar que o escoamento correspondente é incompressível em todo o plano z.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função complexa é linear em z.
  • U_{\infty} é uma velocidade de referência (constante).
  • \alpha é o ângulo de inclinação da direção do escoamento (constante).
  • O objetivo: provar que a condição de incompressibilidade é satisfeita em toda a região do plano complexo.

Passo 2

Vamos lembrar o que significa “incompressível” em escoamento plano: a velocidade do fluido tem componentes u(x,y) e v(x,y) e a condição de incompressibilidade é
\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0.
Também precisamos lembrar como obter u e v a partir do potencial complexo. Se escrevemos o potencial complexo como
F(z)=\Phi(x,y)+i\Psi(x,y),
onde z=x+iy, então \Phi é o potencial de velocidade e \Psi é a função corrente. As componentes da velocidade são
u=\frac{\partial \Phi}{\partial x},\qquad v=\frac{\partial \Phi}{\partial y}.
(Outra relação útil: F'(z)=u-i v, porque a derivada do potencial complexo dá a velocidade complexa.)

Passo 3

Vamos escrever z=x+iy e expandir F(z). Usando e^{-i\alpha}=\cos\alpha-i\sin\alpha temos
F(z)=U_{\infty}(\cos\alpha-i\sin\alpha)(x+iy).
Agora multiplicamos termo a termo. Façamos devagar:
(\cos\alpha-i\sin\alpha)(x+iy)=x\cos\alpha + i y\cos\alpha - i x\sin\alpha + y\sin\alpha.
Agrupando a parte real e a parte imaginária obtemos
\text{parte real} = x\cos\alpha + y\sin\alpha, \qquad \text{parte imaginária} = y\cos\alpha - x\sin\alpha.á
Portanto o potencial e a função corrente são
\Phi(x,y)=U_{\infty}\big(x\cos\alpha + y\sin\alpha\big), \qquad \Psi(x,y)=U_{\infty}\big(y\cos\alpha - x\sin\alpha\big).

Passo 4

Agora calculamos as componentes da velocidade a partir de \Phi. Por definição,
u=\frac{\partial \Phi}{\partial x},\qquad v=\frac{\partial \Phi}{\partial y}.
Derivando \Phi encontramos:
u=\frac{\partial}{\partial x}\Big[U_{\infty}(x\cos\alpha + y\sin\alpha)\Big]=U_{\infty}\cos\alpha,
v=\frac{\partial}{\partial y}\Big[U_{\infty}(x\cos\alpha + y\sin\alpha)\Big]=U_{\infty}\sin\alpha.
Ou seja, as componentes da velocidade são constantes (independentes de x e y):
u(x,y)=U_{\infty}\cos\alpha,\qquad v(x,y)=U_{\infty}\sin\alpha.

Passo 5

Calculamos a divergência usando as derivadas parciais:
\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial x}(U_{\infty}\cos\alpha)+\frac{\partial}{\partial y}(U_{\infty}\sin\alpha).
Como U_{\infty}, \cos\alpha e \sin\alpha são constantes, ambas as derivadas são zero, logo
\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0+0=0.
Portanto a condição de incompressibilidade é satisfeita em todos os pontos do plano.

Passo 6

Comentário alternativo (curto e útil para a prova): a derivada do potencial complexo é
F'(z)=U_{\infty} e^{-i\alpha},
que é constante. Escrevendo F'(z)=u-iv obtemos u e v constantes, e novamente a divergência é zero. Além disso, o fato de F ser holomorfa implica que \Phi e \Psi são harmônicas; em particular \nabla\cdot\mathbf{u}=0.

Resposta

O escoamento é incompressível em todo o plano z.

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