Mostre que o escoamento uniforme
é:
incompressível em todo o plano z ;
incompressível em todo o plano z ;
Passo 1
O enunciado dá a função complexa
onde
e
são constantes reais, e pede para mostrar que o escoamento correspondente é incompressível em todo o plano
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função complexa é linear em
. -
é uma velocidade de referência (constante). -
é o ângulo de inclinação da direção do escoamento (constante). - O objetivo: provar que a condição de incompressibilidade é satisfeita em toda a região do plano complexo.
Passo 2
Vamos lembrar o que significa “incompressível” em escoamento plano: a velocidade do fluido tem componentes
e
e a condição de incompressibilidade é
Também precisamos lembrar como obter
e
a partir do potencial complexo. Se escrevemos o potencial complexo como
onde
, então
é o potencial de velocidade e
é a função corrente. As componentes da velocidade são
(Outra relação útil:
, porque a derivada do potencial complexo dá a velocidade complexa.)
Passo 3
Vamos escrever
e expandir
. Usando
temos
Agora multiplicamos termo a termo. Façamos devagar:
Agrupando a parte real e a parte imaginária obtemos
Portanto o potencial e a função corrente são
Passo 4
Agora calculamos as componentes da velocidade a partir de
. Por definição,
Derivando
encontramos:
Ou seja, as componentes da velocidade são constantes (independentes de
e
):
Passo 5
Calculamos a divergência usando as derivadas parciais:
Como
,
e
são constantes, ambas as derivadas são zero, logo
Portanto a condição de incompressibilidade é satisfeita em todos os pontos do plano.
Passo 6
Comentário alternativo (curto e útil para a prova): a derivada do potencial complexo é
que é constante. Escrevendo
obtemos
e
constantes, e novamente a divergência é zero. Além disso, o fato de
ser holomorfa implica que
e
são harmônicas; em particular
.
Resposta
O escoamento é incompressível em todo o plano
.