Ar escoa no interior de um tubo cujas superficie interna está revestida por naftaleno. Conforme o ar passa no interior do tubo, a concentração de naftaleno no fluido vai sendo elevada.
a) Por meio de um balanço de massa, encontre a expressão que permite o cálculo do coeficiente de transferência de massa entre a parede tubo e um fluido passando em seu interior a partir dos parâmetros indicados a seguir: c_{A S} \rightarrow concentração de saturação de naftaleno na superfície do tubo; c_{A \circ 0} \rightarrow concentração de naftaleno no ar na entrada no tubo; c_{A \infty f} \rightarrow concentração de naftaleno no ar na saída do tubo; v \rightarrow velocidade linear do ar no interior do tubo; d \rightarrow diâmetro do tubo; L \rightarrow comprimento do tubo;
Resposta:
\boldsymbol{k}_{\boldsymbol{c}}=-\frac{\boldsymbol{v D}}{\mathbf{4 L}} \boldsymbol{\operatorname { l n }}\left(\frac{\boldsymbol{c}_{A S}-\boldsymbol{c}_{A \circ f}}{\boldsymbol{c}_{A S}-\boldsymbol{c}_{A \circ 0}}\right)
b) Considere que o diâmetro interno do tubo é 2,5 \mathrm{~cm}, o comprimento é de 1,9 \mathrm{~m}, a vazão volumétrica de ar é de 0,00736 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}, a concentração de naftaleno no final do tubo é de 0,000475 \mathrm{~mol} / \mathrm{m}^{3}, a temperatura do sistema é de 10^{\circ} \mathrm{C}, e a pressão ambiente é de 1 atm . Calcule os fluxos de naftaleno para o ar no início e no final do tubo, e explique porque ocorre essa diferença. \left(\mathbf{2 , 9 3} \cdot \mathbf{1 0}-\mathbf{5} \frac{\mathbf{m o l}}{\mathbf{m}^{\mathbf{2}}} \cdot \mathbf{s} ; \mathbf{1 , 8 4} \cdot \mathbf{1 0}-\mathbf{5} \mathbf{~ m o l} / \mathbf{m}^{\mathbf{2}} \cdot \boldsymbol{s}\right)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
A partir de um balanço de massa, encontrar a expressão para o coeficiente de transferência de massa entre a parede do tubo e o fluido em escoamento, usando as grandezas fornecidas: c_{A S} (concentração de saturação na superfície), c_{A \circ 0} (concentração na entrada do tubo), c_{A \infty f} (concentração na saída do tubo), v (velocidade linear do ar), d (diâmetro do tubo) e L (comprimento do tubo).
Com os dados numéricos fornecidos, calcular os fluxos molares de naftaleno do revestimento para o ar no início (x=0) e no final (x=L) do tubo, e explicar por que esses fluxos são diferentes.
Observação: o enunciado não forneceu explicitamente c_{A\circ 0} (entrada) nem c_{A S} (saturação). Vou assumir que o ar entra praticamente sem naftaleno, isto é \;c_{A\circ 0}=0\; (assunção comum nesse tipo de problema), e obter c_{A S} a partir da pressão de vapor do naftaleno à temperatura dada (valor tabulado). Vou indicar explicitamente onde usei esse valor tabulado.
Passo 2
Modelagem física e balanço de massa diferencial.
Escolhemos um elemento diferencial de comprimento dx do tubo. O ar escoa com velocidade linear v e área da seção transversal
A_c=\frac{\pi d^{2}}{4}.
A área de troca por comprimento dx é dA = \pi d\,dx (circunferência vezes dx).
No regime estacionário (estado permanente) e desprezando difusão axial comparada ao transporte convectivo, o aumento da vazão molar do componente A (naftaleno) ao longo de dx deve ser igual ao fluxo que entra do revestimento naquela porção:
\text{(vazão molar que entra em }x+dx) - \text{(vazão molar que entra em }x) = \text{fluxo de massa vindo da parede sobre }dx.
A vazão molar de A no fluido é \dot{n}_A = v A_c c_A(x). Logo a variação é
d\big(v A_c c_A\big)=v A_c\,dc_A.
O fluxo de transferência de massa (molar) por unidade de área de parede é dado por uma lei de resistência de primeira ordem:
j(x)=k_c\big(c_{A S}-c_A(x)\big),
onde k_c é o coeficiente de transferência de massa (unidade: \mathrm{m/s}) e c_{A S}-c_A(x) é a força motriz local (diferença de concentração entre superfície saturada e o fluido).
A contribuição do elemento dx é j(x)\cdot (\pi d\,dx).
Portanto o balanço diferencial (estado estacionário) é
v A_c\,dc_A = j(x)\,\pi d\,dx = k_c\big(c_{A S}-c_A(x)\big)\,\pi d\,dx.
Passo 3
Escrevendo explicitamente as áreas e simplificando.
Essa é a expressão pedida (mostra como k_c se relaciona com as concentrações de superfície, entrada e saída, e com v,d,L).
Observação: a dedução usou hipóteses usuais: escoamento totalmente misturado na seção (concentração uniforme na seção), regime estacionário e transferência de massa controlada pela resistência no gás descrita por j=k_c(c_{AS}-c).
Passo 5
Preparação para o cálculo numérico (parte b): expressões que usaremos.
Para calcular os fluxos molares na entrada (x=0) e na saída (x=L) precisamos de k_c e de c_{A S}. A distribuição de concentração e o fluxo local são:
Para os cálculos numéricos precisamos de v (velocidade linear) que vem de
v=\frac{Q}{A_c}=\frac{4Q}{\pi d^{2}}.
Também precisamos de c_{A S}. Esse é o valor de concentração de naftaleno no ar na interface quando o naftaleno está em sua pressão de vapor (superfície saturada). Vou usar o valor tabulado da pressão de vapor do naftaleno a 10^\circ\mathrm{C}:
(obs.: este valor é extraído de tabelas/consultas de propriedades físicas para naftaleno; estou indicando explicitamente que é um valor tabulado). Pela equação dos gases ideais (concentração molar = pressão / (R T)):
c_{A S}=\frac{p_{\text{vap}}}{R T}.
Adotarei R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)} e T=283{,}15\\ \mathrm{K}.
Também assumirei, conforme dito, c_{A\circ 0}=0 (ar de entrada praticamente limpo).
Os valores numéricos coincidindo com os indicados no enunciado de verificação: 2{,}93\cdot10^{-5} e 1{,}84\cdot10^{-5}\\ \mathrm{mol/(m^2\cdot s)}.
Passo 7
Interpretação física: por que os fluxos no início e no fim são diferentes?
O fluxo local j(x)=k_c\big(c_{A S}-c_A(x)\big) é proporcional à diferença de concentração entre a superfície saturada e o fluido no ponto x. No início do tubo, c_A(0)=c_{A\circ 0} (aqui assumimos zero), logo a força motriz c_{A S}-c_A é máxima e o fluxo j(0) é o maior. Conforme o ar percorre o tubo, ele carrega naftaleno dissolvido/evaporado, aumentando c_A(x); isso reduz a diferença c_{A S}-c_A(x) e, portanto, reduz o fluxo local j(x). Matematicamente isso aparece como uma queda exponencial do fluxo com x. Em termos físicos: a resistência ao transporte continua a mesma (mesmo k_c), mas a força motriz diminui ao longo do tubo, então a transferência se reduz.