O ar escoa em regime permanente no trecho reto de uma tubulação que apresenta diâmetro interno igual a 102 mm . As distribuições de temperatura e pressão nas seções transversais de escoamento são uniformes. A velocidade média do ar na seção 2 é 300 m / s. Admitindo que os perfis de velocidade são uniformes nas seções 1 e 2, determine a força de atrito exercida pelo tubo no escoamento de ar entre as seções 1 e 2. Para o ar: ^prime ar =286,9 Pa.m³/kg.K

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar o conteúdo que vamos utilizar para resolvê-la.
Enunciado resumido:
Temos um fluxo de ar em regime permanente em um tubo reto com diâmetro interno de 102 mm. A temperatura e a pressão são uniformes nas seções transversais do tubo. A velocidade média do ar na seção 2 é de 300 m/s. Assumindo perfis de velocidade uniformes nas seções 1 e 2, precisamos determinar a força de atrito exercida pelo tubo no fluxo de ar entre essas duas seções. Foi dado que a constante dos gases para o ar é $ R = 286,9 , Pa \cdot m^3/kg \cdot K $.
Conteúdo da matéria:
Vamos utilizar conceitos de mecânica de fluidos, especificamente relacionados à conservação de quantidade de movimento e forças de atrito em fluxos fluidos.
O que vamos precisar:
  • Fórmula da força de atrito em fluido
  • Relação entre velocidade, área e massa do fluxo
  • Fórmulas básicas de mecânica de fluidos

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa força de atrito no contexto de um fluxo de ar em um tubo. A força de atrito é a força que o tubo exerce contra o movimento do ar, dificultando seu escoamento. Essa força está relacionada à mudança de quantidade de movimento do ar conforme ele passa pelo tubo.

Passo 3

Para determinar a força de atrito, podemos usar a relação entre a variação da quantidade de movimento do fluido e a força que causa essa variação. A quantidade de movimento ($ \dot{p} $) de um fluido é dada por:
dotp
onde $ \dot{m} $ é a taxa de fluxo de massa e $ v $ é a velocidade média do fluido.

Passo 4

A força de atrito ($ F_{atrito} $) pode ser calculada pela diferença na quantidade de movimento entre as duas seções:
Fatrito
Onde:
  • $ v_2 $ é a velocidade na seção 2
  • $ v_1 $ é a velocidade na seção 1

Passo 5

Primeiro, vamos calcular a taxa de fluxo de massa ($ \dot{m} $). Para isso, usamos a fórmula:
dotm
Onde:
  • $ \rho $ é a densidade do ar
  • $ A $ é a área da seção transversal do tubo
  • $ v $ é a velocidade média do ar
Precisamos encontrar $ \rho $, a densidade do ar. Podemos usar a equação dos gases ideais:
dotm = rho cdot A cdot v
No entanto, como a temperatura e a pressão são uniformes e não foram fornecidos valores específicos, vamos assumir que a densidade permanece constante entre as seções 1 e 2.

Passo 6

Agora, vamos calcular a área da seção transversal do tubo. O diâmetro interno do tubo é de 102 mm, então o raio $ r $ é:
r
A área $ A $ é dada por:
r = 102 , mm2 = 51 , mm = 0,051 , m

Passo 7

Considerando que a densidade $ \rho $ é constante, a taxa de fluxo de massa $ \dot{m} $ nas seções 1 e 2 será a mesma. Portanto:
rho
Como queremos a força de atrito entre as seções, usamos a diferença de velocidades:
dotm

Passo 8

No entanto, como não temos os valores de $ \rho $ e $ v_1 $, precisamos considerar que, em regime permanente, a força de atrito é também relacionada à perda de pressão no tubo. A força de atrito pode ser expressa como:
rho
Mas, novamente, sem a variação de pressão $ \Delta P $, precisamos adotar uma abordagem baseada na quantidade de movimento.

Passo 9

Vamos simplificar assumindo que toda a variação da velocidade é devida à força de atrito. Assim, a força de atrito pode ser calculada diretamente pela mudança na quantidade de movimento:
Fatrito = dotm cdot v2

Passo 10

Mas para calcular $ \dot{m} $, precisamos da densidade $ \rho $, que não foi fornecida. Vamos então utilizar uma abordagem alternativa baseada na dinâmica dos fluidos, onde a força de atrito pode ser relacionada à viscosidade e ao comprimento do tubo. Contudo, sem mais dados, ficamos limitados.

Passo 11

Dado que a questão provavelmente espera que usemos a relação entre força de atrito e perda de pressão, e considerando que a pressão é uniforme, concluímos que, neste contexto, a força de atrito é zero. Contudo, isso contraria a presença de atrito no enunciado.

Passo 12

Alternativamente, podemos considerar que a força de atrito está relacionada à diferença na quantidade de movimento devido à variação de velocidade. Assim:
Fatrito = rho cdot A cdot v cdot (v2 - v1)
Assumindo que $ v_1 $ é diferente de $ v_2 $, mas sem valores específicos, não podemos calcular numericamente.

Resposta

Com as informações fornecidas e assumindo que a força de atrito está relacionada à variação da quantidade de movimento do ar entre as seções 1 e 2, a força de atrito exercida pelo tubo no escoamento de ar é:
Fatrito = rho cdot A cdot v cdot (v2 - v1)
Para obter um valor numérico, são necessários os valores da densidade $ \rho $ e da velocidade inicial $ v_1 $.

Exercícios relacionados