Em um escoamento o campo de velocidades é dado por: \underline{v}=400\left[(y / L)^{2} \underline{\delta}_{x}+(x / L)^{2} \underline{\delta}_{y}\right].
Determinar a expressão do gradiente de pressão em um ponto (x, y) do escoamento, considerando que o efeito do campo gravitacional pode ser desprezado.
Resp. : \underline{\nabla} p=800\left[\left(\frac{\mu}{L^{2}}-400 \frac{\rho x^{2} y}{L^{4}}\right) \underline{\delta}_{x}+\left(\frac{\mu}{L^{2}}-400 \frac{\rho x y^{2}}{L^{4}}\right) \underline{\delta}_{y}\right]
e pede: determinar a expressão do gradiente de pressão \underline{\nabla}p em um ponto (x,y) do escoamento, desprezando o campo gravitacional.
Informações relevantes que usaremos: a densidade do fluido \rho e a viscosidade dinâmica \mu (não fornecidas numericamente, aparecem simbolicamente na equação de movimento). Não há outras forças além da viscosidade e da inércia convectiva.
Passo 2
Qual equação vamos usar (sem resolver ainda): para um escoamento estacionário, incompressível e sem forças de corpo (gravidade desprezada), a forma vetorial da equação de Navier–Stokes é
Portanto, para achar \underline{\nabla}p precisamos calcular componente a componente: o Laplaciano de \underline{v} e o termo convectivo (\underline{v}\cdot\nabla)\underline{v}.
Passo 3
Escrevemos as componentes do campo de velocidades explicitamente:
Cálculo do termo viscoso \mu\nabla^{2}\underline{v}. O Laplaciano de um campo vetorial é tomado componente a componente: \nabla^{2}\underline{v}=(\nabla^{2}v_{x})\underline{\delta}_{x}+(\nabla^{2}v_{y})\underline{\delta}_{y}+\cdots.
Para v_{x}=400\frac{y^{2}}{L^{2}} temos \partial^{2}v_{x}/\partial x^{2}=0 e \partial^{2}v_{x}/\partial y^{2}=400\cdot\frac{2}{L^{2}}=800\frac{1}{L^{2}}. Assim
\nabla^{2}v_{x}=800\frac{1}{L^{2}}.
Para v_{y}=400\frac{x^{2}}{L^{2}} temos \partial^{2}v_{y}/\partial y^{2}=0 e \partial^{2}v_{y}/\partial x^{2}=800\frac{1}{L^{2}}. Assim
\underline{\nabla}p=800\left[\left(\frac{\mu}{L^{2}}-400\frac{\rho x^{2}y}{L^{4}}\right)\underline{\delta}_{x}+\left(\frac{\mu}{L^{2}}-400\frac{\rho x y^{2}}{L^{4}}\right)\underline{\delta}_{y}\right].
Resposta
\underline{\nabla}p=800\left[\left(\frac{\mu}{L^{2}}-400\frac{\rho x^{2}y}{L^{4}}\right)\underline{\delta}_{x}+\left(\frac{\mu}{L^{2}}-400\frac{\rho x y^{2}}{L^{4}}\right)\underline{\delta}_{y}\right]