Em um escoamento o campo de velocidades é dado por: \underline{v}=400\left[(y / L)^{2} \underline{\delta}_{x}+(x / L)^{2} \underline{\delta}_{y}\right].
Determinar a expressão do gradiente de pressão em um ponto (x, y) do escoamento, considerando que o efeito do campo gravitacional pode ser desprezado.
Resp. : \underline{\nabla} p=800\left[\left(\frac{\mu}{L^{2}}-400 \frac{\rho x^{2} y}{L^{4}}\right) \underline{\delta}_{x}+\left(\frac{\mu}{L^{2}}-400 \frac{\rho x y^{2}}{L^{4}}\right) \underline{\delta}_{y}\right]

Passo 1

O enunciado fornece o campo de velocidades
\underline{v}=400\left[\left(\frac{y}{L}\right)^{2}\underline{\delta}_{x}+\left(\frac{x}{L}\right)^{2}\underline{\delta}_{y}\right]
e pede: determinar a expressão do gradiente de pressão \underline{\nabla}p em um ponto (x,y) do escoamento, desprezando o campo gravitacional.
Informações relevantes que usaremos: a densidade do fluido \rho e a viscosidade dinâmica \mu (não fornecidas numericamente, aparecem simbolicamente na equação de movimento). Não há outras forças além da viscosidade e da inércia convectiva.

Passo 2

Qual equação vamos usar (sem resolver ainda): para um escoamento estacionário, incompressível e sem forças de corpo (gravidade desprezada), a forma vetorial da equação de Navier–Stokes é
\rho(\underline{v}\cdot\nabla)\underline{v}=-\underline{\nabla}p+\mu\nabla^{2}\underline{v}.
Aqui:
  • \rho é a densidade do fluido,
  • \mu é a viscosidade dinâmica,
  • (\underline{v}\cdot\nabla)\underline{v} é o termo convectivo (aceleração advectiva),
  • \nabla^{2}\underline{v} é o Laplaciano do campo de velocidades (termo viscoso).
    Rearranjando para obter \underline{\nabla}p,
\underline{\nabla}p=\mu\nabla^{2}\underline{v}-\rho(\underline{v}\cdot\nabla)\underline{v}.
Portanto, para achar \underline{\nabla}p precisamos calcular componente a componente: o Laplaciano de \underline{v} e o termo convectivo (\underline{v}\cdot\nabla)\underline{v}.

Passo 3

Escrevemos as componentes do campo de velocidades explicitamente:
v_{x}=400\left(\frac{y}{L}\right)^{2}=400\frac{y^{2}}{L^{2}},\qquad v_{y}=400\left(\frac{x}{L}\right)^{2}=400\frac{x^{2}}{L^{2}},\qquad v_{z}=0.
Vamos calcular primeiro as derivadas necessárias para o termo convectivo e para o Laplaciano.

Passo 4

Cálculo do termo convectivo (\underline{v}\cdot\nabla)\underline{v} componente a componente.
Definição componente x:
(\underline{v}\cdot\nabla)v_{x}=v_{x}\frac{\partial v_{x}}{\partial x}+v_{y}\frac{\partial v_{x}}{\partial y}+v_{z}\frac{\partial v_{x}}{\partial z}.
Observações: v_{x} depende só de y, logo \partial v_{x}/\partial x=0 e \partial v_{x}/\partial z=0. Calculamos
\frac{\partial v_{x}}{\partial y}=400\cdot\frac{2y}{L^{2}}=800\frac{y}{L^{2}}.
Então
(\underline{v}\cdot\nabla)v_{x}=v_{y}\cdot 800\frac{y}{L^{2}}.
Como v_{y}=400\frac{x^{2}}{L^{2}},
(\underline{v}\cdot\nabla)v_{x}=400\frac{x^{2}}{L^{2}}\cdot 800\frac{y}{L^{2}}=(400\cdot 800)\frac{x^{2}y}{L^{4}}=320000\frac{x^{2}y}{L^{4}}.
Agora componente y:
(\underline{v}\cdot\nabla)v_{y}=v_{x}\frac{\partial v_{y}}{\partial x}+v_{y}\frac{\partial v_{y}}{\partial y}+v_{z}\frac{\partial v_{y}}{\partial z}.
Aqui v_{y} depende só de x, então \partial v_{y}/\partial y=0 e \partial v_{y}/\partial z=0. Calculamos
\frac{\partial v_{y}}{\partial x}=400\cdot\frac{2x}{L^{2}}=800\frac{x}{L^{2}}.
Logo
(\underline{v}\cdot\nabla)v_{y}=v_{x}\cdot 800\frac{x}{L^{2}}.
Como v_{x}=400\frac{y^{2}}{L^{2}},
(\underline{v}\cdot\nabla)v_{y}=400\frac{y^{2}}{L^{2}}\cdot 800\frac{x}{L^{2}}=(400\cdot 800)\frac{x y^{2}}{L^{4}}=320000\frac{x y^{2}}{L^{4}}.
Portanto o termo convectivo vetorial é
(\underline{v}\cdot\nabla)\underline{v}=320000\left[\frac{x^{2}y}{L^{4}}\underline{\delta}_{x}+\frac{x y^{2}}{L^{4}}\underline{\delta}_{y}\right].

Passo 5

Cálculo do termo viscoso \mu\nabla^{2}\underline{v}. O Laplaciano de um campo vetorial é tomado componente a componente: \nabla^{2}\underline{v}=(\nabla^{2}v_{x})\underline{\delta}_{x}+(\nabla^{2}v_{y})\underline{\delta}_{y}+\cdots.
Para v_{x}=400\frac{y^{2}}{L^{2}} temos \partial^{2}v_{x}/\partial x^{2}=0 e \partial^{2}v_{x}/\partial y^{2}=400\cdot\frac{2}{L^{2}}=800\frac{1}{L^{2}}. Assim
\nabla^{2}v_{x}=800\frac{1}{L^{2}}.
Para v_{y}=400\frac{x^{2}}{L^{2}} temos \partial^{2}v_{y}/\partial y^{2}=0 e \partial^{2}v_{y}/\partial x^{2}=800\frac{1}{L^{2}}. Assim
\nabla^{2}v_{y}=800\frac{1}{L^{2}}.
Multiplicando por \mu,
\mu\nabla^{2}\underline{v}=800\frac{\mu}{L^{2}}\underline{\delta}_{x}+800\frac{\mu}{L^{2}}\underline{\delta}_{y}=800\frac{\mu}{L^{2}}\left(\underline{\delta}_{x}+\underline{\delta}_{y}\right).

Passo 6

Agora montamos \underline{\nabla}p usando a relação do Passo 2:
\underline{\nabla}p=\mu\nabla^{2}\underline{v}-\rho(\underline{v}\cdot\nabla)\underline{v}.
Substituindo os resultados dos Passos 4 e 5:
\underline{\nabla}p=800\frac{\mu}{L^{2}}\underline{\delta}_{x}+800\frac{\mu}{L^{2}}\underline{\delta}_{y}-\rho\;320000\left[\frac{x^{2}y}{L^{4}}\underline{\delta}_{x}+\frac{x y^{2}}{L^{4}}\underline{\delta}_{y}\right].
Fatorando 800:
\underline{\nabla}p=800\left[\left(\frac{\mu}{L^{2}}-400\frac{\rho x^{2}y}{L^{4}}\right)\underline{\delta}_{x}+\left(\frac{\mu}{L^{2}}-400\frac{\rho x y^{2}}{L^{4}}\right)\underline{\delta}_{y}\right].

Resposta

\underline{\nabla}p=800\left[\left(\frac{\mu}{L^{2}}-400\frac{\rho x^{2}y}{L^{4}}\right)\underline{\delta}_{x}+\left(\frac{\mu}{L^{2}}-400\frac{\rho x y^{2}}{L^{4}}\right)\underline{\delta}_{y}\right]

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