Seja uma placa plana sujeita a um escoamento paralelo (superior e inferior) caracterizado por u_{\infty}=7[\mathrm{~m} / \mathrm{s}] e T_{\infty}=20\left[{ }^{\circ} \mathrm{C}\right].
Determine os coeficientes de transferência de calor por convecção médios, as taxas de transferência de calor por convecção e as forças de arrasto associadas a uma placa plana com um comprimento L=2[m] e largura w=2[m], para o escoamento de ar e temperaturas superficiais de 50\left[{ }^{\circ} \mathrm{C}\right] e 80\left[{ }^{\circ} \mathrm{C}\right].

Passo 1

O enunciado pede o seguinte para uma placa plana de comprimento L=2\,[\mathrm{m}] e largura w=2\,[\mathrm{m}], imersa em um escoamento paralelo (acima e abaixo) com velocidade livre u_{\infty}=7\,[\mathrm{m/s}] e temperatura ambiente T_{\infty}=20^\circ\mathrm{C}:
  • Determinar os coeficientes médios de transferência de calor por convecção ( \overline{h}) para as temperaturas de superfície \,T_s=50^\circ\mathrm{C} e \,T_s=80^\circ\mathrm{C}.
  • Determinar as taxas de transferência de calor por convecção ( \dot{Q}) para cada temperatura de superfície.
  • Determinar as forças de arrasto (força de atrito viscosa) associadas ao escoamento sobre a placa para cada temperatura de superfície.
Informações relevantes dadas:
u_{\infty}=7\\ \mathrm{m/s},\qquad L=2\\ \mathrm{m},\qquad w=2\\ \mathrm{m},\qquad T_{\infty}=20^\circ\mathrm{C},
e as duas temperaturas de superfície consideradas:
T_{s1}=50^\circ\mathrm{C},\qquad T_{s2}=80^\circ\mathrm{C}.
Observação: o enunciado diz que há escoamento superior e inferior — portanto ambas as faces da placa estão convectivamente expostas; a área total de troca será A_{\mathrm{tot}}=2\cdot L\cdot w.

Passo 2

Estratégia e propriedades do ar (escolha de método):
  • Para escoamento externo sobre placa plana usamos correlações clássicas de Nusselt para camada limite desenvolvida: para regime turbulento (válido quando \mathrm{Re}_L\gtrsim 5\times10^{5}) usa-se a correlação empírica
\overline{Nu}_L = 0{,}037\,\mathrm{Re}_L^{4/5}\,\mathrm{Pr}^{1/3},
que é válida aproximadamente para 5\times10^{5}\lesssim\mathrm{Re}_L\lesssim10^{7}. A partir de \overline{Nu}_L obtemos \overline{h}=\overline{Nu}_L\,k/L.
  • Para estimar propriedades do ar (viscosidade cinemática \nu, condutividade térmica k, número de Prandtl \mathrm{Pr}, densidade \rho) usamos os valores típicos em tabelas no que chamamos temperatura de filme
T_f=\frac{T_\infty+T_s}{2}.
Peguei valores típicos das propriedades do ar para as temperaturas de filme (valores aproximados de tabelas usuais de termofísica):
  • Para T_f=35^\circ\mathrm{C} (caso T_s=50^\circ\mathrm{C}):
\nu\approx 1{,}70\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s},\quad k\approx 0{,}0263\\ \mathrm{W\,m^{-1}K^{-1}},\quad \mathrm{Pr}\approx 0{,}71,\quad \rho\approx 1{,}145\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Para T_f=50^\circ\mathrm{C} (caso T_s=80^\circ\mathrm{C}):
\nu\approx 1{,}95\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s},\quad k\approx 0{,}0275\\ \mathrm{W\,m^{-1}K^{-1}},\quad \mathrm{Pr}\approx 0{,}71,\quad \rho\approx 1{,}093\\ \mathrm{kg/m^3}.
(Observação honesta: usei valores de referência típicos — em prova você deve indicar que usou tabela com propriedades do ar e citar os valores.)

Passo 3

Cálculo do número de Reynolds baseado no comprimento L:
\mathrm{Re}_L=\frac{u_{\infty}\,L}{\nu}.
  • Para T_s=50^\circ\mathrm{C} ( \nu=1{,}70\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s}):
\mathrm{Re}_L=\frac{7\cdot 2}{1{,}70\times10^{-5}}=\frac{14}{1{,}70\times10^{-5}} \approx 8{,}24\times10^{5}.
  • Para T_s=80^\circ\mathrm{C} ( \nu=1{,}95\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s}):
\mathrm{Re}_L=\frac{7\cdot 2}{1{,}95\times10^{-5}}=\frac{14}{1{,}95\times10^{-5}} \approx 7{,}18\times10^{5}.

Passo 4

Decisão do regime e escolha da correlação:
  • Ambos os \mathrm{Re}_L calculados estão acima de 5\times10^{5}, portanto a camada limite sobre a placa está, em grande parte, em regime turbulento e podemos usar a correlação turbulenta média
\overline{Nu}_L = 0{,}037\,\mathrm{Re}_L^{4/5}\,\mathrm{Pr}^{1/3}.
Vou aplicar essa expressão para cada caso e então calcular \overline{h} por
\overline{h}=\frac{\overline{Nu}_L\,k}{L}.

Passo 5

Cálculo de \overline{Nu}_L e \overline{h} para T_s=50^\circ\mathrm{C} ( T_f=35^\circ\mathrm{C}):
  • Valores: \mathrm{Re}_L\approx 8{,}24\times10^{5}, \mathrm{Pr}=0{,}71, k=0{,}0263\\ \mathrm{W\,m^{-1}K^{-1}}.
  • Primeiro calculemos \mathrm{Re}_L^{4/5}:
\mathrm{Re}_L^{4/5}=(8{,}24\times10^{5})^{4/5}\approx 5{,}39\times10^{4}.
  • E \mathrm{Pr}^{1/3}\approx 0{,}71^{1/3}\approx 0{,}892.
  • Assim
\overline{Nu}_L=0{,}037\cdot 5{,}39\times10^{4}\cdot 0{,}892 \approx 1{,}78\times10^{3}.
  • Finalmente
\overline{h}=\frac{\overline{Nu}_L\,k}{L}=\frac{1{,}78\times10^{3}\cdot 0{,}0263}{2}\approx 23{,}4\\ \mathrm{W\,m^{-2}K^{-1}}.

Passo 6

Taxa de transferência de calor por convecção para T_s=50^\circ\mathrm{C}:
  • Área total exposta (duas faces):
A_{\mathrm{tot}}=2\cdot L\cdot w = 2\cdot 2\cdot 2 = 8\\ \mathrm{m^2}.
  • Diferença de temperatura:
\Delta T = T_s-T_{\infty}=50^\circ\mathrm{C}-20^\circ\mathrm{C}=30\\ \mathrm{K}.
  • Potência convectiva:
\dot{Q}=\overline{h}\,A_{\mathrm{tot}}\,\Delta T = 23{,}4\cdot 8\cdot 30 \approx 5\,616\\ \mathrm{W}.

Passo 7

Cálculo da força de arrasto (atrito de pele) para T_s=50^\circ\mathrm{C}:
  • Para placa alinhada ao escoamento, o arrasto predominante é de atrito de pele. Usamos a correlação empírica para o coeficiente médio de atrito superficial em escoamento turbulento sobre placa lisa:
C_{f,\mathrm{avg}} = 0{,}074\,\mathrm{Re}_L^{-1/5}.
  • Para \mathrm{Re}_L\approx 8{,}24\times10^{5},
\mathrm{Re}_L^{-1/5}\approx 0{,}0658\quad\Rightarrow\quad C_{f,\mathrm{avg}}\approx 0{,}074\cdot 0{,}0658 \approx 4{,}87\times10^{-3}.
  • O esforço dinâmico (pressão dinâmica) é
q=\tfrac{1}{2}\rho u_{\infty}^2=\tfrac{1}{2}\cdot 1{,}145\cdot 7^2 \approx 28{,}05\\ \mathrm{Pa}.
  • A força de atrito total (duas faces) é
F_D = C_{f,\mathrm{avg}}\,q\,A_{\mathrm{tot}} = 4{,}87\times10^{-3}\cdot 28{,}05\cdot 8 \approx 1{,}09\\ \mathrm{N}.

Passo 8

Repetimos os cálculos para T_s=80^\circ\mathrm{C} ( T_f=50^\circ\mathrm{C}):
  • Valores usados: \mathrm{Re}_L\approx 7{,}18\times10^{5}, \mathrm{Pr}=0{,}71, k=0{,}0275\\ \mathrm{W\,m^{-1}K^{-1}}.
  • Calcule \mathrm{Re}_L^{4/5}:
\mathrm{Re}_L^{4/5}=(7{,}18\times10^{5})^{4/5}\approx 4{,}84\times10^{4}.
  • \mathrm{Pr}^{1/3}\approx 0{,}892 (mesmo valor aproximado).
  • Então
\overline{Nu}_L=0{,}037\cdot 4{,}84\times10^{4}\cdot 0{,}892 \approx 1{,}60\times10^{3}.
  • E
\overline{h}=\frac{\overline{Nu}_L\,k}{L}=\frac{1{,}60\times10^{3}\cdot 0{,}0275}{2}\approx 22{,}0\\ \mathrm{W\,m^{-2}K^{-1}}.

Passo 9

Taxa de transferência de calor por convecção para T_s=80^\circ\mathrm{C}:
  • \Delta T = 80^\circ\mathrm{C}-20^\circ\mathrm{C}=60\\ \mathrm{K}.
  • Área total A_{\mathrm{tot}}=8\\ \mathrm{m^2}.
  • Potência convectiva:
\dot{Q}=\overline{h}\,A_{\mathrm{tot}}\,\Delta T = 22{,}0\cdot 8\cdot 60 \approx 10\,560\\ \mathrm{W}.

Passo 10

Força de arrasto para T_s=80^\circ\mathrm{C}:
  • Coeficiente médio de atrito:
C_{f,\mathrm{avg}} = 0{,}074\,\mathrm{Re}_L^{-1/5}.
  • Para \mathrm{Re}_L\approx 7{,}18\times10^{5},
\mathrm{Re}_L^{-1/5}\approx 0{,}0674\quad\Rightarrow\quad C_{f,\mathrm{avg}}\approx 0{,}074\cdot 0{,}0674 \approx 4{,}99\times10^{-3}.
  • Pressão dinâmica com \rho\approx 1{,}093\\ \mathrm{kg/m^3}:
q=\tfrac{1}{2}\rho u_{\infty}^2=\tfrac{1}{2}\cdot 1{,}093\cdot 7^2 \approx 26{,}78\\ \mathrm{Pa}.
  • Força total (duas faces):
F_D = C_{f,\mathrm{avg}}\,q\,A_{\mathrm{tot}} = 4{,}99\times10^{-3}\cdot 26{,}78\cdot 8 \approx 1{,}07\\ \mathrm{N}.

Resposta

Para T_s=50^\circ\mathrm{C}: \overline{h}\approx 23{,}4\\ \mathrm{W\,m^{-2}K^{-1}}\n \dot{Q}\approx 5616\\ \mathrm{W}\n F_D\approx 1{,}09\\ \mathrm{N}
Para T_s=80^\circ\mathrm{C}: \overline{h}\approx 22{,}0\\ \mathrm{W\,m^{-2}K^{-1}}\n \dot{Q}\approx 10\,560\\ \mathrm{W}\n F_D\approx 1{,}07\\ \mathrm{N}

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