Um escoamento completamente desenvolvido de água no interior de um tubo pode ser descrito pela seguinte equação:
(a) Quantas dimensões possui este escoamento? (b) O escoamento está em regime permanente ou transiente? (c) Se o diâmetro do tubo é de 1 in e a velocidade máxima do escoamento (U máx) é de
, calcule a velocidade do escoamento no centro do tubo (
in), para
in e para
in.
Passo 1
O enunciado dá a velocidade no interior de um tubo na forma
Perguntas pedidas:
(a) Quantas dimensões possui este escoamento?
(b) O escoamento está em regime permanente ou transiente?
(c) Dado diâmetro do tubo (logo
) e
, calcule
para
,
e
.
(a) Quantas dimensões possui este escoamento?
(b) O escoamento está em regime permanente ou transiente?
(c) Dado diâmetro do tubo
Informações relevantes fornecidas:
- Expressão do perfil de velocidade parabólico em função de
. -
. - Diâmetro
. - Valores de
a serem avaliados: .
Passo 2
Interpretando a parte (a): o que significa “quantas dimensões possui este escoamento”?
Há duas maneiras comuns de entender isso:
Há duas maneiras comuns de entender isso:
- Conteúdo 1 (componentes de velocidade): contar quantas componentes do campo velocidade são não nulas.
- Conteúdo 2 (dependência espacial): contar em quantas direções independentes a velocidade varia (quantas coordenadas espaciais aparecem na expressão).
Aqui o campo é
: existe apenas uma componente não nula (a componente axial
na direção
). Essa componente depende somente da distância radial
ao eixo, não depende de ângulo nem do eixo axial (escoamento “completamente desenvolvido”). Portanto:
- Em termos de componentes de velocidade: só há 1 componente (unidirecional).
- Em termos de variação espacial efetiva: a velocidade varia apenas com uma coordenada independente (
), então a distribuição é efetivamente unidimensional (perfil radial).
Conclusão didática (escolhendo a interpretação mais prática para problemas de tubos): o escoamento é unidirecional (uma dimensão de componente de velocidade) e tem variação apenas na coordenada radial — portanto, classifica-se como um escoamento essencialmente 1D (unidimensional) em perfil radial, com simetria axial e circumferencial.
Passo 3
Respondendo (b): definir regime permanente (steady) vs transiente (unsteady).
- Regime permanente significa que todas as propriedades do escoamento não variam no tempo
; ou seja, .
Na expressão dadanão aparece . Logo a velocidade não depende do tempo: o escoamento é permanente (steady).
Passo 4
Preparação para cálculos da parte (c). Converter diâmetro em raio:
Observação importante sobre unidades: na fórmula aparece apenas a razão
, que é adimensional. Portanto é suficiente que
e
estejam na mesma unidade (polegadas aqui); não é necessário converter polegadas para metros para calcular a razão. O resultado da velocidade herdará a unidade de
, que é
.
Passo 5
Calcular
em
.
Substituindo na expressão:
Substituindo
Interpretação física: no centro do tubo a velocidade atinge o máximo
.
Passo 6
Calcular
em
.
Calcular a razão:
Calcular a razão:
Substituindo na expressão:
Passo a passo: multiplicar
por
dá
.
Passo 7
Calcular
em
(isto é, na parede interna do tubo).
Razão:
Razão:
Substituindo:
Interpretação física: velocidade nula na parede por causa da condição de não deslizamento (no-slip).
Passo 8
Resumo físico e verificação rápida: o perfil
é parabólico típico do escoamento laminar completamente desenvolvido em tubo (perfil de Poiseuille). Resultados obtidos são coerentes: máximo no centro, decaindo até zero na parede.
Resposta
(a) O escoamento é unidirecional (uma componente de velocidade) e varia apenas com
, ou seja, efetivamente 1 dimensão (perfil radial).
(b) Permanente (steady), porque não há dependência temporal na expressão da velocidade.
(c)
(b) Permanente (steady), porque não há dependência temporal na expressão da velocidade.
(c)