Um escoamento completamente desenvolvido de água no interior de um tubo pode ser descrito pela seguinte equação:
\overrightarrow{\mathrm{V}}=\mathrm{u} \hat{\mathrm{i}} \text {, onde } \mathrm{u}=\mathrm{U}_{\max }\left[1-\left(\frac{\mathrm{r}}{\mathrm{R}}\right)^{2}\right]
(a) Quantas dimensões possui este escoamento? (b) O escoamento está em regime permanente ou transiente? (c) Se o diâmetro do tubo é de 1 in e a velocidade máxima do escoamento (U máx) é de 3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, calcule a velocidade do escoamento no centro do tubo ( \mathrm{r}=0 in), para \mathrm{r}=\frac{1}{4} in e para \mathrm{r}=\frac{1}{2} in.

Passo 1

O enunciado dá a velocidade no interior de um tubo na forma
\overrightarrow{\mathrm{V}}=\mathrm{u}\,\hat{\mathrm{i}},\quad\text{com}\quad \mathrm{u}=\mathrm{U}_{\max}\left[1-\left(\frac{\mathrm{r}}{\mathrm{R}}\right)^{2}\right].
Perguntas pedidas:
(a) Quantas dimensões possui este escoamento?
(b) O escoamento está em regime permanente ou transiente?
(c) Dado diâmetro do tubo 1\\ \text{in} (logo R=\tfrac{1}{2}\\ \text{in}) e \mathrm{U}_{\max}=3\\ \mathrm{m/s}, calcule \mathrm{u} para \mathrm{r}=0\\ \text{in}, \mathrm{r}=\tfrac{1}{4}\\ \text{in} e \mathrm{r}=\tfrac{1}{2}\\ \text{in}.
Informações relevantes fornecidas:
  • Expressão do perfil de velocidade parabólico em função de \mathrm{r}.
  • \mathrm{U}_{\max}=3\\ \mathrm{m/s}.
  • Diâmetro =1\\ \text{in}\Rightarrow R=\tfrac{1}{2}\\ \text{in}.
  • Valores de \mathrm{r} a serem avaliados: 0,\\ \tfrac{1}{4}\\ \text{in},\\ \tfrac{1}{2}\\ \text{in}.

Passo 2

Interpretando a parte (a): o que significa “quantas dimensões possui este escoamento”?
Há duas maneiras comuns de entender isso:
  • Conteúdo 1 (componentes de velocidade): contar quantas componentes do campo velocidade são não nulas.
  • Conteúdo 2 (dependência espacial): contar em quantas direções independentes a velocidade varia (quantas coordenadas espaciais aparecem na expressão).
Aqui o campo é \overrightarrow{\mathrm{V}}=\mathrm{u}\,\hat{\mathrm{i}}: existe apenas uma componente não nula (a componente axial \mathrm{u} na direção \hat{\mathrm{i}}). Essa componente depende somente da distância radial \mathrm{r} ao eixo, não depende de ângulo nem do eixo axial (escoamento “completamente desenvolvido”). Portanto:
  • Em termos de componentes de velocidade: só há 1 componente (unidirecional).
  • Em termos de variação espacial efetiva: a velocidade varia apenas com uma coordenada independente ( \mathrm{r}), então a distribuição é efetivamente unidimensional (perfil radial).
Conclusão didática (escolhendo a interpretação mais prática para problemas de tubos): o escoamento é unidirecional (uma dimensão de componente de velocidade) e tem variação apenas na coordenada radial — portanto, classifica-se como um escoamento essencialmente 1D (unidimensional) em perfil radial, com simetria axial e circumferencial.

Passo 3

Respondendo (b): definir regime permanente (steady) vs transiente (unsteady).
  • Regime permanente significa que todas as propriedades do escoamento não variam no tempo t; ou seja, \partial/\partial t=0.
    Na expressão dada \mathrm{u}=\mathrm{U}_{\max}\left[1-\left(\dfrac{\mathrm{r}}{\mathrm{R}}\right)^{2}\right] não aparece t. Logo a velocidade não depende do tempo: o escoamento é permanente (steady).

Passo 4

Preparação para cálculos da parte (c). Converter diâmetro em raio:
\text{diâmetro}=1\\ \text{in}\quad\Rightarrow\quad R=\tfrac{1}{2}\\ \text{in}=0,5\\ \text{in}.â
Observação importante sobre unidades: na fórmula aparece apenas a razão \dfrac{\mathrm{r}}{\mathrm{R}}, que é adimensional. Portanto é suficiente que \mathrm{r} e \mathrm{R} estejam na mesma unidade (polegadas aqui); não é necessário converter polegadas para metros para calcular a razão. O resultado da velocidade herdará a unidade de \mathrm{U}_{\max}, que é \mathrm{m/s}.

Passo 5

Calcular \mathrm{u} em \mathrm{r}=0\\ \text{in}.
Substituindo \mathrm{r}=0 na expressão:
\left(\frac{\mathrm{r}}{\mathrm{R}}\right)^{2}=\left(\frac{0}{0,5}\right)^{2}=0,
\mathrm{u}=\mathrm{U}_{\max}\bigl(1-0\bigr)=\mathrm{U}_{\max}=3\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação física: no centro do tubo a velocidade atinge o máximo \mathrm{U}_{\max}.

Passo 6

Calcular \mathrm{u} em \mathrm{r}=\tfrac{1}{4}\\ \text{in}=0,25\\ \text{in}.
Calcular a razão:
\frac{\mathrm{r}}{\mathrm{R}}=\frac{0,25}{0,5}=0,5,\qquad \left(\frac{\mathrm{r}}{\mathrm{R}}\right)^{2}=0,5^{2}=0,25.
Substituindo na expressão:
\mathrm{u}=\mathrm{U}_{\max}\left[1-0,25\right]=3\cdot 0,75=2,25\\ \mathrm{m/s}.
Passo a passo: multiplicar 3 por 0,75 2,25.

Passo 7

Calcular \mathrm{u} em \mathrm{r}=\tfrac{1}{2}\\ \text{in}=0,5\\ \text{in} (isto é, na parede interna do tubo).
Razão:
\frac{\mathrm{r}}{\mathrm{R}}=\frac{0,5}{0,5}=1,\qquad \left(\frac{\mathrm{r}}{\mathrm{R}}\right)^{2}=1.
Substituindo:
\mathrm{u}=\mathrm{U}_{\max}\left[1-1\right]=3\cdot 0=0\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação física: velocidade nula na parede por causa da condição de não deslizamento (no-slip).

Passo 8

Resumo físico e verificação rápida: o perfil \mathrm{u}=\mathrm{U}_{\max}\left[1-(\mathrm{r}/\mathrm{R})^{2}\right] é parabólico típico do escoamento laminar completamente desenvolvido em tubo (perfil de Poiseuille). Resultados obtidos são coerentes: máximo no centro, decaindo até zero na parede.

Resposta

(a) O escoamento é unidirecional (uma componente de velocidade) e varia apenas com \mathrm{r}, ou seja, efetivamente 1 dimensão (perfil radial).
(b) Permanente (steady), porque não há dependência temporal na expressão da velocidade.
(c) \mathrm{r}=0\\ \text{in}\Rightarrow \mathrm{u}=3\\ \mathrm{m/s}
\mathrm{r}=\tfrac{1}{4}\\ \text{in}\Rightarrow \mathrm{u}=2,25\\ \mathrm{m/s}
\mathrm{r}=\tfrac{1}{2}\\ \text{in}\Rightarrow \mathrm{u}=0\\ \mathrm{m/s}

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