O campo de massas específicas de um escoamento é descrito por:
\rho=680-2 \frac{x}{y}+0,8 \frac{z}{x}-6 \cdot e^{-0,1 \cdot t}
Calcule a massa específica do elemento fluido localizado no ponto
\mathrm{P}=(1,2,1) para os instantes de tempo: a)
\mathrm{t}=0 \mathrm{~s} ; \mathrm{b}) \mathrm{t}=10 \mathrm{~s} ; \mathrm{c}) \mathrm{t}=10 minutos

Passo 1

O enunciado dá o campo de massas específicas (densidade) do escoamento por
\rho = 680 - 2\frac{x}{y} + 0,8\frac{z}{x} - 6\cdot \mathrm{e}^{-0,1\cdot t}.
Pede-se calcular a massa específica do elemento fluido localizado no ponto \mathrm{P}=(1,2,1) nos instantes:
  • (a) \,t=0\\ \mathrm{s};
  • (b) \,t=10\\ \mathrm{s};
  • (c) \,t=10\\ \text{min}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Coordenadas do ponto: x=1,\;y=2,\;z=1.
  • A função depende também do tempo t através do termo exponencial \mathrm{e}^{-0,1\cdot t}.
  • É necessário avaliar a expressão para os três instantes pedidos.

Passo 2

Primeiro vamos substituir as coordenadas de \mathrm{P} na expressão geral de \rho para obter \rho como função apenas do tempo t.
Substituindo x=1, y=2, z=1 em cada termo:
-2\frac{x}{y} = -2\frac{1}{2} = -1,
0,8\frac{z}{x} = 0,8\frac{1}{1} = 0,8.
Portanto, ao substituir na fórmula original obtemos:
\rho(t)=680 -1 +0,8 -6\cdot \mathrm{e}^{-0,1\cdot t}.
Somando os termos constantes:
\rho(t)=679,8 - 6\cdot \mathrm{e}^{-0,1\cdot t}.
Explicação didática rápida: ao fixar a posição do elemento (as coordenadas), a densidade passa a depender só do tempo via o termo exponencial. O resto são números fixos que somam para formar a constante 679,8.

Passo 3

Cálculo para \,t=0\\ \mathrm{s}.
Avaliar o exponencial:
\mathrm{e}^{-0,1\cdot 0}=\mathrm{e}^{0}=1.
Substituindo em \rho(t):
\rho(0)=679,8 - 6\cdot 1 = 679,8 - 6 = 673,8.
Interpretação: no instante inicial o termo exponencial vale 1, então subtrai-se 6 da constante 679,8.

Passo 4

Cálculo para \,t=10\\ \mathrm{s}.
Aqui o expoente é -0,1\cdot 10 = -1, portanto
\mathrm{e}^{-0,1\cdot 10}=\mathrm{e}^{-1}=\frac{1}{\mathrm{e}}\approx 0,3678794412\approx 0,3679.
Multiplicando por 6:
6\cdot \mathrm{e}^{-1}\approx 6\cdot 0,3678794412 \approx 2,2072766472.
Agora:
\rho(10)=679,8 - 2,2072766472 \approx 677,5927233528 \approx 677,593.
Dica prática: lembrar que \mathrm{e}\approx 2,71828 e portanto 1/\mathrm{e}\approx0,3679 é algo que se usa com frequência em provas; com isso o cálculo acima é direto.

Passo 5

Cálculo para \,t=10\\ \text{min} = 600\\ \mathrm{s}.
O expoente é -0,1\cdot 600 = -60. O número \mathrm{e}^{-60} é extremamente pequeno:
\mathrm{e}^{-60}\approx 8,756510762\times 10^{-27}.
Multiplicando por 6 dá um valor da ordem de 5{,}25\times 10^{-26}, ou seja, efetivamente zero no contexto de densidades dadas com uma ou poucas casas decimais. Assim:
\rho(600)=679,8 - 6\cdot \mathrm{e}^{-60}\approx 679,8 - 5{,}25\times 10^{-26}\approx 679,8.
Interpretação física: o termo exponencial representa uma decaída temporal rápida; após tempo suficiente (aqui 10 minutos) o efeito desse termo é desprezível.

Resposta

(a) \rho(0)=673,8\\ \mathrm{kg/m^3}
(b) \rho(10)=677,593\\ \mathrm{kg/m^3}
(c) \rho(10\\ \text{min})=679,8\\ \mathrm{kg/m^3}

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