O campo de massas específicas de um escoamento é descrito por:
Calcule a massa específica do elemento fluido localizado no ponto
para os instantes de tempo: a)
minutos
Passo 1
O enunciado dá o campo de massas específicas (densidade) do escoamento por
Pede-se calcular a massa específica do elemento fluido localizado no ponto
nos instantes:
- (a)
; - (b)
; - (c)
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Coordenadas do ponto:
. - A função depende também do tempo
através do termo exponencial . - É necessário avaliar a expressão para os três instantes pedidos.
Passo 2
Primeiro vamos substituir as coordenadas de
na expressão geral de
para obter
como função apenas do tempo
.
Substituindo
,
,
em cada termo:
Portanto, ao substituir na fórmula original obtemos:
Somando os termos constantes:
Explicação didática rápida: ao fixar a posição do elemento (as coordenadas), a densidade passa a depender só do tempo via o termo exponencial. O resto são números fixos que somam para formar a constante
.
Passo 3
Cálculo para
.
Avaliar o exponencial:
Substituindo em
:
Interpretação: no instante inicial o termo exponencial vale
, então subtrai-se
da constante
.
Passo 4
Cálculo para
.
Aqui o expoente é
, portanto
Multiplicando por
:
Agora:
Dica prática: lembrar que
e portanto
é algo que se usa com frequência em provas; com isso o cálculo acima é direto.
Passo 5
Cálculo para
.
O expoente é
. O número
é extremamente pequeno:
Multiplicando por
dá um valor da ordem de
, ou seja, efetivamente zero no contexto de densidades dadas com uma ou poucas casas decimais. Assim:
Interpretação física: o termo exponencial representa uma decaída temporal rápida; após tempo suficiente (aqui 10 minutos) o efeito desse termo é desprezível.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)