Aqui está o que o enunciado nos dá (explicitando os símbolos) e o que tipicamente se pede:
Dados fornecidos:
A forma funcional do perfil: u(y) é uma parábola em \dfrac{y}{\delta} com coeficientes a,b,c.
Aparecem as incógnitas a, b e c; também aparecem os parâmetros \delta (espessura da camada-limite) e U (velocidade do escoamento livre, se houver).
O que normalmente se pede (não explicitado no enunciado que foi enviado, mas que é o objetivo natural): determinar a, b e c em função de \delta e da velocidade do escoamento externo U, ou escrever o perfil em termos de U e \delta.
Informação que falta no enunciado: para determinar os três coeficientes a,b,c é preciso ter três condições físicas (condições de contorno). O enunciado original não trouxe essas condições explicitamente.
Observação: sem as três condições de contorno não há solução única. A seguir vou assumir as três condições mais comuns e físicas usadas para esse tipo de aproximação e resolver passo a passo; antes de começar, explico por que essas condições são razoáveis e o que significam fisicamente.
Passo 2
Explicação didática das condições de contorno típicas e por que são usadas (aulas curtinha, mas clara):
Condição 1: condição de não deslizamento (no-slip) na parede. Isso diz que a velocidade do fluido na parede é igual à velocidade da parede. Para uma placa fixa:u(0)=0.O significado: a camada de fluido em contato com a parede não escorrega; portanto u no y=0 é zero.
Condição 2: correspondência com o escoamento externo na borda da camada-limite. Em y=\delta costuma-se exigir que a velocidade alcance a velocidade do escoamento livre U, ou seja:u(\delta)=U.O significado: além da camada-limite o fluido está praticamente na velocidade livre.
Condição 3: suavidade no bordo da camada-limite. Uma condição frequente para perfis polinomiais é exigir que o gradiente de velocidade no bordo seja zero (ausência de cisalhamento adicional ali), ou seja:\left.\frac{du}{dy}\right|_{y=\delta}=0.O significado: a variação da velocidade em y é nula no limite y=\delta, compatível com a transição para o escoamento externo uniforme.
Essas três condições são físicas e lineares, e permitem determinar a,b,c. Se o enunciado original usar condições diferentes (por exemplo impor um valor da tensão de cisalhamento na parede), o procedimento muda; mas o desenvolvimento que segue mostra como fazer quando as três condições acima são as usadas.
Passo 3
Aplicando a primeira condição (não deslizamento) diretamente à forma do perfil:
Comentário didático: isso elimina um coeficiente imediatamente — faz sentido porque um termo constante na parábola corresponderia a uma velocidade não nula na parede.
Passo 4
Aplicando a segunda condição (velocidade livre em y=\delta). Substituindo y=\delta na expressão com a=0:
Como \dfrac{d}{dy}\!\left(\dfrac{y}{\delta}\right)=\dfrac{1}{\delta} e \dfrac{d}{dy}\!\left(\dfrac{y}{\delta}\right)^{2}=2\cdot\left(\dfrac{y}{\delta}\right)\cdot\dfrac{1}{\delta}, obtemos:
Em y=\delta: u(\delta)=U(2-1)=U (combinação com velocidade livre).
A derivada em y=\delta é nula: \left.du/dy\right|_{y=\delta}=0.
A inclinação inicial em y=0 (cisalhamento na parede) é \left.du/dy\right|_{y=0}=\dfrac{b}{\delta}=\dfrac{2U}{\delta}, que é positiva como esperado.
Comentário didático final: esse perfil parabólico é uma aproximação simples e frequentemente usada para facilitar cálculos analíticos (por exemplo para estimar o atrito na parede ou o deslocamento de massa), mas é uma idealização — perfis mais precisos podem usar polinômios de grau maior (como o perfil de Pohlhausen de quarto grau) ou soluções numéricas da equação de Prandtl. Mesmo assim, a técnica de impor condições físicas e resolver para os coeficientes é sempre a mesma: precisa do mesmo número de condições que de incógnitas.