Questão 4. O perfil de velocidade da camada-limite viscosa pode ser aproximado por uma equação parabólica:
u(y)=a+b\left(\frac{y}{\delta}\right)+c\left(\frac{y}{\delta}\right)^{2}

Passo 1

O enunciado fornece a aproximação parabólica do perfil de velocidade:
u(y)=a+b\left(\frac{y}{\delta}\right)+c\left(\frac{y}{\delta}\right)^{2}
Aqui está o que o enunciado nos dá (explicitando os símbolos) e o que tipicamente se pede:
  • Dados fornecidos:
    • A forma funcional do perfil: u(y) é uma parábola em \dfrac{y}{\delta} com coeficientes a,b,c.
    • Aparecem as incógnitas a, b e c; também aparecem os parâmetros \delta (espessura da camada-limite) e U (velocidade do escoamento livre, se houver).
  • O que normalmente se pede (não explicitado no enunciado que foi enviado, mas que é o objetivo natural): determinar a, b e c em função de \delta e da velocidade do escoamento externo U, ou escrever o perfil em termos de U e \delta.
  • Informação que falta no enunciado: para determinar os três coeficientes a,b,c é preciso ter três condições físicas (condições de contorno). O enunciado original não trouxe essas condições explicitamente.
Observação: sem as três condições de contorno não há solução única. A seguir vou assumir as três condições mais comuns e físicas usadas para esse tipo de aproximação e resolver passo a passo; antes de começar, explico por que essas condições são razoáveis e o que significam fisicamente.

Passo 2

Explicação didática das condições de contorno típicas e por que são usadas (aulas curtinha, mas clara):
  • Condição 1: condição de não deslizamento (no-slip) na parede. Isso diz que a velocidade do fluido na parede é igual à velocidade da parede. Para uma placa fixa: u(0)=0.O significado: a camada de fluido em contato com a parede não escorrega; portanto u no y=0 é zero.
  • Condição 2: correspondência com o escoamento externo na borda da camada-limite. Em y=\delta costuma-se exigir que a velocidade alcance a velocidade do escoamento livre U, ou seja: u(\delta)=U.O significado: além da camada-limite o fluido está praticamente na velocidade livre.
  • Condição 3: suavidade no bordo da camada-limite. Uma condição frequente para perfis polinomiais é exigir que o gradiente de velocidade no bordo seja zero (ausência de cisalhamento adicional ali), ou seja: \left.\frac{du}{dy}\right|_{y=\delta}=0.O significado: a variação da velocidade em y é nula no limite y=\delta, compatível com a transição para o escoamento externo uniforme.
Essas três condições são físicas e lineares, e permitem determinar a,b,c. Se o enunciado original usar condições diferentes (por exemplo impor um valor da tensão de cisalhamento na parede), o procedimento muda; mas o desenvolvimento que segue mostra como fazer quando as três condições acima são as usadas.

Passo 3

Aplicando a primeira condição (não deslizamento) diretamente à forma do perfil:
u(0)=a+b\left(\frac{0}{\delta}\right)+c\left(\frac{0}{\delta}\right)^{2}=a.
Como exigimos u(0)=0, obtemos:
a=0.
Comentário didático: isso elimina um coeficiente imediatamente — faz sentido porque um termo constante na parábola corresponderia a uma velocidade não nula na parede.

Passo 4

Aplicando a segunda condição (velocidade livre em y=\delta). Substituindo y=\delta na expressão com a=0:
u(\delta)=0 + b\left(\frac{\delta}{\delta}\right)+c\left(\frac{\delta}{\delta}\right)^{2}=b+c.
Exigimos u(\delta)=U, portanto:
b+c=U.
Isso é uma equação linear relacionando b e c.

Passo 5

Aplicando a terceira condição (derivada nula em y=\delta). Primeiro calculamos a derivada geral:
\frac{du}{dy}=b\cdot\frac{d}{dy}\!\left(\frac{y}{\delta}\right)+c\cdot\frac{d}{dy}\!\left(\frac{y}{\delta}\right)^{2}.
Como \dfrac{d}{dy}\!\left(\dfrac{y}{\delta}\right)=\dfrac{1}{\delta} e \dfrac{d}{dy}\!\left(\dfrac{y}{\delta}\right)^{2}=2\cdot\left(\dfrac{y}{\delta}\right)\cdot\dfrac{1}{\delta}, obtemos:
\frac{du}{dy}=\frac{b}{\delta}+\frac{2c}{\delta}\left(\frac{y}{\delta}\right).
Agora avaliamos em y=\delta:
\left.\frac{du}{dy}\right|_{y=\delta}=\frac{b}{\delta}+\frac{2c}{\delta}\left(\frac{\delta}{\delta}\right)=\frac{b+2c}{\delta}.
Exigindo que essa expressão seja zero (condição escolhida), temos:
\frac{b+2c}{\delta}=0 \quad\Rightarrow\quad b+2c=0.
Isso fornece a segunda equação linear entre b e c.

Passo 6

Resolver o sistema linear para b e c. Reunindo as duas equações obtidas:
\begin{cases} b+c=U,\\[4pt] b+2c=0. \end{cases}
Subtraindo a segunda equação da primeira (ou resolvendo por substituição), fazemos:
(b+c)-(b+2c)=U-0 \quad\Rightarrow\quad -c=U \quad\Rightarrow\quad c=-U.
Em seguida,
b+2c=0 \quad\Rightarrow\quad b=-2c = -2(-U)=2U.
Resumo dos coeficientes:
a=0,\qquad b=2U,\qquad c=-U.]

Passo 7

Escrever o perfil final e interpretar. Substituindo os coeficientes na forma original:
u(y)=0 + 2U\left(\frac{y}{\delta}\right) - U\left(\frac{y}{\delta}\right)^{2}
ou, agrupando,
u(y)=U\left(2\frac{y}{\delta}-\left(\frac{y}{\delta}\right)^{2}\right).
Interpretação rápida:
  • Em y=0: u(0)=0 (condição de parede satisfeita).
  • Em y=\delta: u(\delta)=U(2-1)=U (combinação com velocidade livre).
  • A derivada em y=\delta é nula: \left.du/dy\right|_{y=\delta}=0.
  • A inclinação inicial em y=0 (cisalhamento na parede) é \left.du/dy\right|_{y=0}=\dfrac{b}{\delta}=\dfrac{2U}{\delta}, que é positiva como esperado.
Comentário didático final: esse perfil parabólico é uma aproximação simples e frequentemente usada para facilitar cálculos analíticos (por exemplo para estimar o atrito na parede ou o deslocamento de massa), mas é uma idealização — perfis mais precisos podem usar polinômios de grau maior (como o perfil de Pohlhausen de quarto grau) ou soluções numéricas da equação de Prandtl. Mesmo assim, a técnica de impor condições físicas e resolver para os coeficientes é sempre a mesma: precisa do mesmo número de condições que de incógnitas.

Resposta

a=0
b=2U
c=-U
u(y)=U\!\left(2\frac{y}{\delta}-\left(\frac{y}{\delta}\right)^{2}\right)

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