Um escoamento completamente desenvolvido de água no interior de um tubo pode ser descrito pela seguinte equação:
V=u_{i} \text {, Onde } u=U_{\text {max }}\left[1-\left(\frac{r}{R}\right)^{2}\right]
Se o diâmetro do tubo é de 1 in e a velocidade máxima do escoamento \left(U_{\text {max }}\right) é de 3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, calcule a velocidade do escoamento no centro do tubo (r=0 in), para r=1 / 4 in e para r=1 / g in.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a velocidade do escoamento u em três posições radiais dentro de um tubo, usando a lei
u(r)=U_{\text{max}}\left[1-\left(\frac{r}{R}\right)^{2}\right].
Dados fornecidos:
  • Diâmetro do tubo: 1\\ \text{in}.
  • Velocidade máxima: U_{\text{max}}=3\\ \mathrm{m/s}.
  • Raio do tubo R é metade do diâmetro, portanto R=0,5\\ \text{in} (vou mostrar isso no próximo passo).
  • Pontos onde calcular u: r=0\\ \text{in}, r=1/4\\ \text{in} e r=1/g\\ \text{in}.
Observação sobre ambiguidade: o enunciado apresenta r=1/g\\ \text{in}. Não tenho certeza do que significa o símbolo g aqui — provavelmente é um erro de digitação e o valor pretendido é 1/8\\ \text{in}. Para poder resolver, vou assumir que r=1/8\\ \text{in}. Se esse não for o valor correto, os mesmos passos servem para qualquer outro r; basta substituir o número e recalcular.

Passo 2

Entendendo a fórmula e as unidades (aula rápida):
  • A fórmula \displaystyle u(r)=U_{\text{max}}\left[1-\left(\frac{r}{R}\right)^{2}\right] descreve um perfil parabólico (típico de escoamento laminar totalmente desenvolvido em tubo): a velocidade é máxima no centro ( r=0) e decresce até zero na parede ( r=R).
  • U_{\text{max}} é a velocidade máxima no eixo (unidade \mathrm{m/s}).
  • r é a distância radial ao centro (mesma unidade que R).
  • R é o raio do tubo; aqui o diâmetro é 1\\ \text{in}, então
R=\frac{1\\ \text{in}}{2}=0,5\\ \text{in}.
  • Importante: \dfrac{r}{R} é adimensional, portanto r e R podem ficar em polegadas sem converter para metros — a razão é independente da unidade desde que sejam iguais.

Passo 3

Cálculo para r=0\\ \text{in}:
  • Substituindo r=0 na fórmula,
u(0)=U_{\text{max}}\left[1-\left(\frac{0}{R}\right)^{2}\right]=U_{\text{max}}(1-0)=U_{\text{max}}.
  • Como U_{\text{max}}=3\\ \mathrm{m/s}, então
u(0)=3\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Cálculo para r=1/4\\ \text{in}:
  • Primeiro calcule a razão \dfrac{r}{R}:
\frac{r}{R}=\frac{1/4\\ \text{in}}{0,5\\ \text{in}}=\frac{0,25}{0,5}=0,5.
  • Eleve ao quadrado:
\left(\frac{r}{R}\right)^{2}=(0,5)^{2}=0,25.
  • Substitua na fórmula:
u\!\left(\tfrac{1}{4}\\ \text{in}\right)=3\left[1-0,25\right]=3\times 0,75=2,25\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Cálculo para r=1/8\\ \text{in} (assumindo que 1/g é 1/8):
  • Razão \dfrac{r}{R}:
\frac{r}{R}=\frac{1/8\\ \text{in}}{0,5\\ \text{in}}=\frac{0,125}{0,5}=0,25.
  • Quadrado:
\left(\frac{r}{R}\right)^{2}=(0,25)^{2}=0,0625.
  • Substituindo:
u\!\left(\tfrac{1}{8}\\ \text{in}\right)=3\left[1-0,0625\right]=3\times 0,9375=2,8125\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Checagem rápida (intuição): os valores fazem sentido — u decresce do centro para a parede e os números estão entre 0 e 3\\ \mathrm{m/s}. Se o valor de r for diferente do que assumi, repita o Passo 5 com o novo r usando exatamente os mesmos passos (calcular r/R, elevar ao quadrado, substituir).

Resposta

u(0)=3\\ \mathrm{m/s}
u\!\left(\tfrac{1}{4}\\ \text{in}\right)=2,25\\ \mathrm{m/s}
u\!\left(\tfrac{1}{8}\\ \text{in}\right)=2,8125\\ \mathrm{m/s}

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