Determine uma equação empírica que relacione a viscosidade ( \mu ) e a temperatura ( T ) para o creme de leite com diferentes teores de gordura ( 15 \%, 25% e 35%), com base nos dados fornecidos. Utilize modelos matemáticos adequados, como a equação de Arrhenius ou modelos polinomiais ajustados aos valores experimentais.
2. Analise a influência da gordura na viscosidade, discutindo como a presença de lipídios afeta a resistência ao escoamento e a resposta térmica do fluido.
3. Obtenha uma equação adicional que correlacione a viscosidade e a porcentagem de gordura para uma mesma temperatura, demonstrando como o aumento do teor de gordura impacta a reologia do creme de leite.
Tabela 1 - Dados experimentais fornecidos.
l l l l l l
15% de gordura 25% de gordura 35% de gordura
\mathrm{T}({ }^{\circ} \mathrm{C}) \mu (ср) \mathrm{T}({ }^{\circ} \mathrm{C}) \mu (ср) \mathrm{T}({ }^{\circ} \mathrm{C}) \mu(\mathrm{cp})
30 105,9 30 135,2 30 163,60
40 65,56 40 86,17 40 140,30
50 37,04 50 44,89 50 125,17
60 34,35 60 40,75 60 114,92
70 31,30 70 41,48 70 109,52

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos.
  • Pedidos:
    1. Determinar uma equação empírica que relacione a viscosidade \mu e a temperatura T para o creme de leite com teores de gordura 15\%, 25\% e 35\%. Sugerido: usar equação tipo Arrhenius ou polinomial ajustada aos dados.
    2. Analisar a influência da gordura na viscosidade e na resposta térmica (como a presença de lipídios afeta a resistência ao escoamento e a sensibilidade à temperatura).
    3. Obter uma equação que correlacione a viscosidade e a porcentagem de gordura para uma mesma temperatura (isto é, \mu em função da porcentagem de gordura, para cada T).
  • Dados experimentais (peguei todos os números da Tabela 1 do enunciado):
    • Para 15\% de gordura:
      • T ( ^{\circ}\mathrm{C}): 30, 40, 50, 60, 70
      • \mu (cp): 105{,}9,\\\ 65{,}56,\\\ 37{,}04,\\\ 34{,}35,\\\ 31{,}30
    • Para 25\% de gordura:
      • T ( ^{\circ}\mathrm{C}): 30, 40, 50, 60, 70
      • \mu (cp): 135{,}2,\\\ 86{,}17,\\\ 44{,}89,\\\ 40{,}75,\\\ 41{,}48
    • Para 35\% de gordura:
      • T ( ^{\circ}\mathrm{C}): 30, 40, 50, 60, 70
      • \mu (cp): 163{,}60,\\\ 140{,}30,\\\ 125{,}17,\\\ 114{,}92,\\\ 109{,}52

Passo 2

Método escolhido e conceitos básicos (explicação didática do que é a equação de Arrhenius e como vamos usá-la).
  • Escolha do método: vou ajustar uma forma empírica do tipo “Arrhenius empírico” porque é padrão para dependência térmica de viscosidade de líquidos: ela costuma cair exponencialmente com a temperatura. Também fornecerei relações lineares entre \mu e a porcentagem de gordura para cada temperatura (item 3), pois para uma mesma T os dados sugerem um aumento razoavelmente próximo de linearidade com o teor de gordura.
  • Forma usada (Arrhenius empírico): \mu(T) = A \exp\!\left(\dfrac{B}{T}\right),onde:
    • \mu é a viscosidade (unidade: cp).
    • T é a temperatura em kelvin ( \mathrm{K}). Importante: para usar essa forma, converte-se os graus Celsius para kelvin por T(\mathrm{K}) = T(^{\circ}\mathrm{C}) + 273{,}15.
    • A e B são constantes empíricas determinadas por ajuste aos dados ( A>0 tem unidades de cp, B tem unidades de K).
  • Como ajustar numericamente (a ideia, passo a passo): tomar logaritmo natural da equação: \ln\mu = \ln A + \frac{B}{T}.Definindo y=\ln\mu e x=\dfrac{1}{T}, obtemos uma relação linear: y = (\ln A) + B\,x.Faz-se uma regressão linear de y versus x (método dos mínimos quadrados) para encontrar B (inclinação) e \ln A (intercepto). Vou aplicar isso separadamente para cada teor de gordura.

Passo 3

Preparar os dados: conversão de temperatura para kelvin e cálculo de x=1/T.
  • Converto cada temperatura T(^{\circ}\mathrm{C}) em T(\mathrm{K}) = T(^{\circ}\mathrm{C}) + 273{,}15.
  • Valores usados (mostrando T(\mathrm{K}) e x=1/T, arredondados razoavelmente para cálculo manual):
    • T=30^{\circ}\mathrm{C} \Rightarrow T=303{,}15\\ \mathrm{K}, \;x=1/T \approx 0{,}003298\\ \mathrm{K}^{-1}.
    • T=40^{\circ}\mathrm{C} \Rightarrow T=313{,}15\\ \mathrm{K}, \;x\approx 0{,}003193\\ \mathrm{K}^{-1}.
    • T=50^{\circ}\mathrm{C} \Rightarrow T=323{,}15\\ \mathrm{K}, \;x\approx 0{,}003095\\ \mathrm{K}^{-1}.
    • T=60^{\circ}\mathrm{C} \Rightarrow T=333{,}15\\ \mathrm{K}, \;x\approx 0{,}003000\\ \mathrm{K}^{-1}.
    • T=70^{\circ}\mathrm{C} \Rightarrow T=343{,}15\\ \mathrm{K}, \;x\approx 0{,}002914\\ \mathrm{K}^{-1}.

Passo 4

Preparar y=\ln\mu para cada série (valores aproximados para o ajuste).
  • Para 15\% de gordura, \mu e \ln\mu:
    • \mu=105{,}9 \Rightarrow \ln\mu\approx 4{,}662.
    • \mu=65{,}56 \Rightarrow \ln\mu\approx 4{,}182.
    • \mu=37{,}04 \Rightarrow \ln\mu\approx 3{,}612.
    • \mu=34{,}35 \Rightarrow \ln\mu\approx 3{,}537.
    • \mu=31{,}30 \Rightarrow \ln\mu\approx 3{,}443.
  • Para 25\% de gordura:
    • \mu=135{,}2 \Rightarrow \ln\mu\approx 4{,}907.
    • \mu=86{,}17 \Rightarrow \ln\mu\approx 4{,}454.
    • \mu=44{,}89 \Rightarrow \ln\mu\approx 3{,}806.
    • \mu=40{,}75 \Rightarrow \ln\mu\approx 3{,}708.
    • \mu=41{,}48 \Rightarrow \ln\mu\approx 3{,}726.
  • Para 35\% de gordura:
    • \mu=163{,}60 \Rightarrow \ln\mu\approx 5{,}097.
    • \mu=140{,}30 \Rightarrow \ln\mu\approx 4{,}943.
    • \mu=125{,}17 \Rightarrow \ln\mu\approx 4{,}829.
    • \mu=114{,}92 \Rightarrow \ln\mu\approx 4{,}744.
    • \mu=109{,}52 \Rightarrow \ln\mu\approx 4{,}697.
(Observação: os logs foram calculados com arredondamento suficiente para regressão manual; em prova, use cálculo com a precisão que tiver.)

Passo 5

Ajuste linear (regressão) para 15\% de gordura — cálculo passo a passo e interpretação.
  • Problema linear: ajustar y=\ln\mu versus x=1/T com n=5 pontos.
  • Fórmulas dos mínimos quadrados (relembrando): B = \frac{n\sum(xy) - (\sum x)(\sum y)}{n\sum(x^2) - (\sum x)^2}, \qquad \ln A = \frac{\sum y - B \sum x}{n}.Aqui B é a inclinação (igual ao parâmetro B da equação arrhenius) e \ln A é o intercepto.
  • Aplico os somatórios aos números do Passo 3 e Passo 4 (valores arredondados):
    • \sum x \approx 0{,}015500\\ \mathrm{K}^{-1}.
    • \sum y \approx 19{,}436.
    • \sum x^2 \approx 0{,}000048146\\ \mathrm{K}^{-2}.
    • \sum x y \approx 0{,}060568.
  • Substituindo nas fórmulas obtém-se (cálculo mostrado resumido):
    • B \approx 3296.
    • \ln A \approx -6{,}3304 \Rightarrow A \approx \exp(-6{,}3304) \approx 0{,}00178.
  • Equação ajustada (para 15\% gordura), com T em kelvin: \mu(T) \approx 0{,}00178\;\exp\!\left(\dfrac{3296}{T}\right)\quad\text{(cp)}.
  • Interpretação rápida: B grande indica forte sensibilidade da viscosidade à temperatura (queda rápida de \mu com o aumento de T) para essa série.

Passo 6

Ajuste linear (regressão) para 25\% de gordura — passo a passo.
  • Usando os mesmos somatórios para x (mesmos T) e os y=\ln\mu para 25\%, com cálculo análogo:
    • \sum y \approx 20{,}601.
    • \sum x y \approx 0{,}064164.
  • Aplicando a fórmula:
    • B \approx 3134.
    • \ln A \approx -5{,}595 \Rightarrow A \approx \exp(-5{,}595) \approx 0{,}00372.
  • Equação ajustada (para 25\% gordura): \mu(T) \approx 0{,}00372\;\exp\!\left(\dfrac{3134}{T}\right)\quad\text{(cp)}.

Passo 7

Ajuste linear (regressão) para 35\% de gordura — passo a passo.
  • Para 35\% usando os y=\ln\mu correspondentes:
    • \sum y \approx 24{,}310.
    • \sum x y \approx 0{,}075458.
  • Aplicando a fórmula:
    • B \approx 1010.
    • \ln A \approx 1{,}731 \Rightarrow A \approx \exp(1{,}731) \approx 5{,}65.
  • Equação ajustada (para 35\% gordura): \mu(T) \approx 5{,}65\;\exp\!\left(\dfrac{1010}{T}\right)\quad\text{(cp)}.

Passo 8

Verificação qualitativa dos ajustes e comentário sobre a qualidade.
  • Checagem rápida (apenas para intuição): calcular \mu prevista pelo modelo e comparar com um dado ponto:
    • Ex.: para T=303{,}15\\ \mathrm{K} ( 30^{\circ}\mathrm{C}):
      • 15\%: modelo dá \mu\approx 0{,}00178\exp(3296/303{,}15)\approx 93 cp (valor experimental 105{,}9 cp). Ajuste razoável, não perfeito (pequeno desvio por ruído e por números arredondados).
      • 25\%: \mu\approx 0{,}00372\exp(3134/303{,}15)\approx 117 cp (experimental 135{,}2 cp).
      • 35\%: \mu\approx 5{,}65\exp(1010/303{,}15)\approx 158 cp (experimental 163{,}6 cp).
  • Observação: os ajustes são empíricos e os parâmetros foram obtidos com arredondamentos; com calculadora/PC a qualidade e precisão melhoram. Ainda assim, a forma Arrhenius capta a tendência decrescente com T.

Passo 9

Equações que correlacionam \mu e a porcentagem de gordura para uma mesma temperatura (item 3) — método e ajuste.
  • Para cada temperatura fixa dos dados ( 30,40,50,60,70\\ ^{\circ}\mathrm{C}) há três medidas (para 15\%,25\%,35\%). Com três pontos é natural ajustar uma reta do tipo \mu = a + b\cdot F,onde F é a porcentagem de gordura (por exemplo F=15 para 15\%), a e b constantes dependentes de T.
  • Ajustei por interpolação linear entre os três pontos (isto é, coeficiente b obtido por \Delta\mu/\Delta F entre extremos e a fazendo passar a reta por um ponto). Resultados (valores com 3 casas relevantes):
    • Para T=30^{\circ}\mathrm{C}: \mu \approx 62{,}625 + 2{,}885\;F\quad(\text{cp}).
    • Para T=40^{\circ}\mathrm{C}: \mu \approx 9{,}505 + 3{,}737\;F\quad(\text{cp}).
    • Para T=50^{\circ}\mathrm{C}: \mu \approx -29{,}058 + 4{,}4065\;F\quad(\text{cp}).
    • Para T=60^{\circ}\mathrm{C}: \mu \approx -26{,}078 + 4{,}0285\;F\quad(\text{cp}).
    • Para T=70^{\circ}\mathrm{C}: \mu \approx -27{,}365 + 3{,}911\;F\quad(\text{cp}).
  • Interpretação: o coeficiente b (multiplicador da porcentagem de gordura) dá a sensibilidade da viscosidade à adição de gordura para aquela temperatura. Valores de b entre \approx 2{,}9 e \approx 4{,}4 cp/% mostram que cada ponto percentual a mais de gordura aumenta \mu em alguns cp (dependendo de T).

Passo 10

Interpretação física e análise da influência da gordura (resposta didática e motivadora).
  • O que os ajustes mostram (resumo físico):
    • A presença de gordura aumenta o valor da viscosidade em toda a faixa de temperaturas: para um dado T, quanto maior F (teor de lipídio), maior \mu. Isso aparece claramente nas retas do Passo 9 (coeficiente b>0).
    • A sensibilidade térmica (como \mu muda com T) tende a reduzir quando o teor de gordura aumenta: nos ajustes Arrhenius vimos que o parâmetro B diminui conforme aumentamos F (valores estimados B_{15\%}\approx 3296, B_{25\%}\approx 3134, B_{35\%}\approx 1010). Menor B geralmente significa que a viscosidade depende menos de 1/T (isto é, a queda de \mu com o aquecimento é menos pronunciada).
  • Por que isso acontece (explicação simples e prática):
    • Creme de leite é uma dispersão de gotículas de gordura em uma fase aquosa com proteínas e outros solutos. A adição de mais gordura aumenta a fração de fase dispersedora (gotículas), aumenta interações entre partículas (coalescência, fricção entre gotículas) e, muitas vezes, cria uma microestrutura que resiste ao escoamento — logo, maior viscosidade.
    • Quando se aquece, a água tende a diminuir em viscosidade rapidamente; porém, a presença de gordura (sólidos/amolecimento de lipídios) e da microestrutura estabilizada por proteínas pode amortecer a variação térmica, tornando a dependência com T menos agressiva.
    • Em linguagem de prova: a gordura aumenta a “constante” de viscosidade e tende a reduzir a sensibilidade térmica (menor dependência exponencial de 1/T).
  • Observação prática para a prova: se precisar estimar \mu em uma temperatura intermediária ou em um teor de gordura entre os tabulados, use:
    • Para variação com T num teor conhecido: usar a equação Arrhenius correspondente ao teor (Passos 5–7).
    • Para variação com F num T conhecido: usar a reta do Passo 9 para aquela temperatura.

Passo 11

Dicas rápidas de como apresentar isso numa prova (tom de amigo incentivador).
  • Explique que você optou por um modelo arrhenius empírico porque é comum para líquidos; mostre a linearização \ln\mu vs 1/T e apresente os parâmetros A e B com suas unidades e interpretação.
  • Mostre também a relação \mu vs F para cada T (uma linha por temperatura) — isso responde direto ao item 3.
  • Termine com uma frase curta discutindo a física (gordura aumenta viscosidade, reduz sensibilidade térmica) — isso dá uma resposta qualitativa que costuma valer ponto extra.

Resposta

\displaystyle \mu_{15\%}(T) \approx 0{,}00178\;\exp\!\left(\dfrac{3296}{T}\right)\\ \text{(cp),}\\ T\\ \text{em K}
\displaystyle \mu_{25\%}(T) \approx 0{,}00372\;\exp\!\left(\dfrac{3134}{T}\right)\\ \text{(cp),}\\ T\\ \text{em K}
\displaystyle \mu_{35\%}(T) \approx 5{,}65\;\exp\!\left(\dfrac{1010}{T}\right)\\ \text{(cp),}\\ T\\ \text{em K}
\displaystyle \mu(T=30^{\circ}\mathrm{C}) \approx 62{,}625 + 2{,}885\;F\\ \text{(cp)}
\displaystyle \mu(T=40^{\circ}\mathrm{C}) \approx 9{,}505 + 3{,}737\;F\\ \text{(cp)}
\displaystyle \mu(T=50^{\circ}\mathrm{C}) \approx -29{,}058 + 4{,}4065\;F\\ \text{(cp)}
\displaystyle \mu(T=60^{\circ}\mathrm{C}) \approx -26{,}078 + 4{,}0285\;F\\ \text{(cp)}
\displaystyle \mu(T=70^{\circ}\mathrm{C}) \approx -27{,}365 + 3{,}911\;F\\ \text{(cp)}

Exercícios relacionados