Um escoamento completamente desenvolvido de água no interior de um tubo pode ser descrito pela seguinte equação:
O escoamento está em regime permanente ou transiente?
Passo 1
O enunciado nos dá a velocidade do escoamento no interior do tubo na forma vetorial e a expressão do módulo axial da velocidade. Vou listar claramente o que foi informado:
- A velocidade vetorial é
. - A componente axial
é dada por - Aqui:
-
é o versor na direção axial do tubo (eixo do tubo). -
é a coordenada radial (distância do eixo do tubo). -
é o raio interno do tubo. -
é a velocidade máxima (valor numérico fornecido pelo enunciado).
-
- A pergunta: o escoamento está em regime permanente (estacionário) ou transiente (não estacionário)?
Passo 2
O que significa “regime permanente” (ou “escoamento estacionário”) e “transiente”?
- Regime permanente / estacionário: a velocidade em cada ponto do fluido não varia com o tempo. Em linguagem matemática dizemos que a derivada temporal da velocidade é nula:
- Regime transiente / não estacionário: a velocidade em algum ponto varia com o tempo, ou seja
.
Explicação intuitiva: se eu fico num ponto fixo dentro do tubo e a velocidade ali não muda conforme o relógio anda, o escoamento é permanente. Se a velocidade naquele ponto sobe ou desce com o tempo, é transiente.
Passo 3
Aplicando a definição ao campo dado. A componente axial é
Observação importante: na expressão acima não aparece a variável tempo
. Ou seja,
é função apenas de
(e de parâmetros constantes
e
). Logo a derivada parcial em relação ao tempo é
porque a expressão não depende de
. Consequentemente
Passo 4
Interpretação e pequena aula prática:
- Como
, o escoamento é estacionário (permanente): a velocidade em cada ponto não muda com o tempo. - Comentário adicional (para fixar a ideia): “completamente desenvolvido” significa que o perfil de velocidade não varia ao longo da direção axial, ou seja
(aqui o enunciado já dá o perfil só em função de ). Esse conceito é distinto de estacionaridade: um escoamento pode ser espacialmente desenvolvido mas ainda variar no tempo se, por exemplo, . - Observação de exceção útil para a prova: se
fosse uma função do tempo, isto é se tivéssemos , então poderia ser diferente de zero e o escoamento seria transiente. Como o enunciado apresenta sem dependência temporal, assume-se que é constante no tempo.
Passo 5
Conclusão direta com base no cálculo de
e nas observações anteriores: o campo de velocidade dado não depende do tempo, portanto o escoamento é permanente (estacionário), salvo o caso não-expresso no enunciado de
depender do tempo.
Resposta
Regime permanente (escoamento estacionário).