Um escoamento completamente desenvolvido de água no interior de um tubo pode ser descrito pela seguinte equação:
V=u_{i} \text {, Onde } u=U_{\text {max }}\left[1-\left(\frac{r}{R}\right)^{2}\right]
O escoamento está em regime permanente ou transiente?

Passo 1

O enunciado nos dá a velocidade do escoamento no interior do tubo na forma vetorial e a expressão do módulo axial da velocidade. Vou listar claramente o que foi informado:
  • A velocidade vetorial é \mathbf{V}=u\,\mathbf{i}.
  • A componente axial u é dada por u = U_{\max}\left[1-\left(\frac{r}{R}\right)^{2}\right].
  • Aqui:
    • \mathbf{i} é o versor na direção axial do tubo (eixo do tubo).
    • r é a coordenada radial (distância do eixo do tubo).
    • R é o raio interno do tubo.
    • U_{\max} é a velocidade máxima (valor numérico fornecido pelo enunciado).
  • A pergunta: o escoamento está em regime permanente (estacionário) ou transiente (não estacionário)?

Passo 2

O que significa “regime permanente” (ou “escoamento estacionário”) e “transiente”?
  • Regime permanente / estacionário: a velocidade em cada ponto do fluido não varia com o tempo. Em linguagem matemática dizemos que a derivada temporal da velocidade é nula: \frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t}=\mathbf{0}.
  • Regime transiente / não estacionário: a velocidade em algum ponto varia com o tempo, ou seja \partial \mathbf{V}/\partial t \neq \mathbf{0}.
    Explicação intuitiva: se eu fico num ponto fixo dentro do tubo e a velocidade ali não muda conforme o relógio anda, o escoamento é permanente. Se a velocidade naquele ponto sobe ou desce com o tempo, é transiente.

Passo 3

Aplicando a definição ao campo dado. A componente axial é u(r)=U_{\max}\left[1-\left(\frac{r}{R}\right)^{2}\right].
Observação importante: na expressão acima não aparece a variável tempo t. Ou seja, u é função apenas de r (e de parâmetros constantes U_{\max} e R). Logo a derivada parcial em relação ao tempo é
\frac{\partial u}{\partial t}=0,
porque a expressão não depende de t. Consequentemente
\frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial t}\big(u\,\mathbf{i}\big)=\left(\frac{\partial u}{\partial t}\right)\mathbf{i}=\mathbf{0}.

Passo 4

Interpretação e pequena aula prática:
  • Como \partial \mathbf{V}/\partial t=\mathbf{0}, o escoamento é estacionário (permanente): a velocidade em cada ponto não muda com o tempo.
  • Comentário adicional (para fixar a ideia): “completamente desenvolvido” significa que o perfil de velocidade não varia ao longo da direção axial, ou seja \partial u/\partial x=0 (aqui o enunciado já dá o perfil só em função de r). Esse conceito é distinto de estacionaridade: um escoamento pode ser espacialmente desenvolvido mas ainda variar no tempo se, por exemplo, U_{\max}=U_{\max}(t).
  • Observação de exceção útil para a prova: se U_{\max} fosse uma função do tempo, isto é se tivéssemos U_{\max}=U_{\max}(t), então \partial u/\partial t poderia ser diferente de zero e o escoamento seria transiente. Como o enunciado apresenta U_{\max} sem dependência temporal, assume-se que é constante no tempo.

Passo 5

Conclusão direta com base no cálculo de \partial \mathbf{V}/\partial t e nas observações anteriores: o campo de velocidade dado não depende do tempo, portanto o escoamento é permanente (estacionário), salvo o caso não-expresso no enunciado de U_{\max} depender do tempo.

Resposta

Regime permanente (escoamento estacionário).

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