Condução através de uma casca esférica: Considere um contêiner esférico de raio interno \mathrm{r}_{1}=8 \mathrm{~cm}, raio externo \mathrm{r}_{2}=10 \mathrm{~cm} e condutividade térmica \mathrm{k}=45 \mathrm{~W} / \mathrm{m}.K. As superfícies interna e externa do contêiner são mantidas a temperaturas constantes de \mathrm{T}_{1}=150^{\circ} \mathrm{C} e \mathrm{T}_{2}=50 { }^{\circ} \mathrm{C}, respectivamente.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que precisamos encontrar.
  • Dados fornecidos:
    • r_{1}=8\\ \text{cm}=0,08\\ \mathrm{m}.
    • r_{2}=10\\ \text{cm}=0,10\\ \mathrm{m}.
    • k=45\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot \mathrm{K}).
    • T_{1}=150^\circ\mathrm{C} (temperatura na superfície interna, em r=r_{1}).
    • T_{2}=50^\circ\mathrm{C} (temperatura na superfície externa, em r=r_{2}).
  • O que o exercício pede (inferido do enunciado típico):
    1. A taxa de transferência de calor em regime permanente através da casca esférica (potência térmica Q).
    2. A distribuição de temperatura T(r) no material para r_{1}\le r\le r_{2}.

Passo 2

Ideia física e fórmula básica: condução radial estacionária em casca esférica.
  • Em regime estacionário e com simetria esférica, a taxa de calor que atravessa qualquer esfera concêntrica de raio r é a mesma (independe de r). A lei de Fourier (na direção radial) diz que o fluxo de calor radial por unidade de área é
q_{r} = -k\,\frac{dT}{dr},
onde:
  • q_{r} é o fluxo de calor por área normal à superfície (W/m ^2),
  • k é a condutividade térmica (W/m·K),
  • \dfrac{dT}{dr} é o gradiente radial de temperatura.
A potência total que atravessa a superfície esférica de raio r é essa densidade multiplicada pela área 4\pi r^{2}:
Q = q_{r}\cdot 4\pi r^{2} = -k\,4\pi r^{2}\,\frac{dT}{dr}.
Aqui Q é positivo quando o calor flui no sentido decrescente de temperatura (do interior quente para o exterior frio). Nesta configuração espera-se Q>0 saindo do raio interno para o externo.

Passo 3

Obter a equação diferencial e integrá-la.
A equação obtida é
Q = -4\pi k\, r^{2}\,\frac{dT}{dr}.
Reescrevendo para o gradiente:
\frac{dT}{dr} = -\frac{Q}{4\pi k}\,r^{-2}.
Integramos em r para obter T(r). Integração passo a passo:
\int dT = -\frac{Q}{4\pi k}\int r^{-2}dr
T(r) = -\frac{Q}{4\pi k}\left(-\frac{1}{r}\right) + C
T(r) = C + \frac{Q}{4\pi k}\cdot\frac{1}{r},
onde C é constante de integração a determinar pelas condições de contorno.

Passo 4

Aplicar as condições de contorno para relacionar Q com as temperaturas dadas.
Usando T(r_{1})=T_{1} e T(r_{2})=T_{2}, subtrair as duas expressões é mais direto. De T(r)=C+\dfrac{Q}{4\pi k r} segue
T_{1}=C+\frac{Q}{4\pi k r_{1}}, \qquad T_{2}=C+\frac{Q}{4\pi k r_{2}}.
Subtraindo:
T_{1}-T_{2}=\frac{Q}{4\pi k}\left(\frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r_{2}}\right).
Isolando Q:
Q = 4\pi k\,(T_{1}-T_{2})\bigg/ \left(\frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r_{2}}\right).
Essa é a fórmula padrão para condução através de uma casca esférica com temperaturas prescritas nas superfícies.

Passo 5

Calcular numericamente Q com os valores dados (fazer as conversões de unidades e as contas passo a passo).
  • Primeiro calcule a diferença de temperaturas:
T_{1}-T_{2}=150^\circ\mathrm{C}-50^\circ\mathrm{C}=100\\ \mathrm{K}.
  • Calcule \dfrac{1}{r_{1}}-\dfrac{1}{r_{2}} com r_{1}=0,08\\ \mathrm{m} e r_{2}=0,10\\ \mathrm{m}:
\frac{1}{r_{1}}=\frac{1}{0,08}=12,5\\ \mathrm{m}^{-1}, \qquad \frac{1}{r_{2}}=\frac{1}{0,10}=10\\ \mathrm{m}^{-1},
\frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r_{2}}=12,5-10=2,5\\ \mathrm{m}^{-1}.
  • Agora calcule Q:
Q = 4\pi\cdot 45\\ \frac{\mathrm{W}}{\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}}\cdot 100\\ \mathrm{K}\bigg/ 2,5\\ \mathrm{m}^{-1}.
Fazendo as contas com etapas:
\frac{100}{2,5}=40,
45\cdot 40 = 1800,
4\pi\cdot 1800 = 7200\pi.
Portanto
Q = 7200\pi\\ \mathrm{W}\approx 22\\\ 619,5\\ \mathrm{W}.
Isso significa que, no regime estacionário e com as superfícies mantidas nas temperaturas dadas, a casca esférica conduz cerca de 2,26\times 10^{4}\\ \mathrm{W} do interior para o exterior (valor alto porque a condutividade k é grande e a diferença de temperaturas é grande).

Passo 6

Obter a expressão final para a distribuição de temperatura T(r) (útil para avaliar T em qualquer r entre r_{1} e r_{2}).
Partindo de T(r)=C+\dfrac{Q}{4\pi k r} e usando T(r_{2})=T_{2} para achar C:
C = T_{2} - \frac{Q}{4\pi k r_{2}}.
Logo a distribuição é
T(r) = T_{2} + \frac{Q}{4\pi k}\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_{2}}\right).
Substituindo a expressão de Q em termos de T_{1}-T_{2} também se obtém uma forma alternativa:
T(r) = T_{2} + (T_{1}-T_{2})\frac{\tfrac{1}{r}-\tfrac{1}{r_{2}}}{\tfrac{1}{r_{1}}-\tfrac{1}{r_{2}}}.
Essa fórmula é prática: para r=r_{1} recupera T_{1} e para r=r_{2} recupera T_{2}. Se desejar um exemplo numérico rápido, para r=0,09\\ \mathrm{m} (meio da casca) basta substituir os valores em uma das fórmulas acima.

Resposta

Q = 7200\pi\\ \mathrm{W}\approx 22\\\ 619,5\\ \mathrm{W}
T(r)=T_{2}+\dfrac{Q}{4\pi k}\Big(\dfrac{1}{r}-\dfrac{1}{r_{2}}\Big)

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