Condução através de uma casca esférica: Considere um contêiner esférico de raio interno
, raio externo
e condutividade térmica
.K. As superfícies interna e externa do contêiner são mantidas a temperaturas constantes de
e
, respectivamente.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que precisamos encontrar.
-
Dados fornecidos:
-
. -
. -
. -
(temperatura na superfície interna, em ). -
(temperatura na superfície externa, em ).
-
-
O que o exercício pede (inferido do enunciado típico):
- A taxa de transferência de calor em regime permanente através da casca esférica (potência térmica
). - A distribuição de temperatura
no material para .
- A taxa de transferência de calor em regime permanente através da casca esférica (potência térmica
Passo 2
Ideia física e fórmula básica: condução radial estacionária em casca esférica.
- Em regime estacionário e com simetria esférica, a taxa de calor que atravessa qualquer esfera concêntrica de raio
é a mesma (independe de ). A lei de Fourier (na direção radial) diz que o fluxo de calor radial por unidade de área é
onde:
-
é o fluxo de calor por área normal à superfície (W/m ), -
é a condutividade térmica (W/m·K), -
é o gradiente radial de temperatura.
A potência total que atravessa a superfície esférica de raio
é essa densidade multiplicada pela área
:
Aqui
é positivo quando o calor flui no sentido decrescente de temperatura (do interior quente para o exterior frio). Nesta configuração espera-se
saindo do raio interno para o externo.
Passo 3
Obter a equação diferencial e integrá-la.
A equação obtida é
Reescrevendo para o gradiente:
Integramos em
para obter
. Integração passo a passo:
onde
é constante de integração a determinar pelas condições de contorno.
Passo 4
Aplicar as condições de contorno para relacionar
com as temperaturas dadas.
Usando
e
, subtrair as duas expressões é mais direto. De
segue
Subtraindo:
Isolando
:
Essa é a fórmula padrão para condução através de uma casca esférica com temperaturas prescritas nas superfícies.
Passo 5
Calcular numericamente
com os valores dados (fazer as conversões de unidades e as contas passo a passo).
- Primeiro calcule a diferença de temperaturas:
- Calcule
com e :
- Agora calcule
:
Fazendo as contas com etapas:
Portanto
Isso significa que, no regime estacionário e com as superfícies mantidas nas temperaturas dadas, a casca esférica conduz cerca de
do interior para o exterior (valor alto porque a condutividade
é grande e a diferença de temperaturas é grande).
Passo 6
Obter a expressão final para a distribuição de temperatura
(útil para avaliar
em qualquer
entre
e
).
Partindo de
e usando
para achar
:
Logo a distribuição é
Substituindo a expressão de
em termos de
também se obtém uma forma alternativa:
Essa fórmula é prática: para
recupera
e para
recupera
. Se desejar um exemplo numérico rápido, para
(meio da casca) basta substituir os valores em uma das fórmulas acima.