Um escoamento é descrito pelo campo de velocidade:
V=a1+b xj
em que a=2 m / s e b=1 s^-1. As coordenadas são medidas em metros.
1. Obtenha a equação para a linha de corrente que passa pelo ponto (2,5).
2. Em t=2 s, quais são as coordenadas da partícula que passou pelo ponto (0,4)?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para um escoamento com velocidade
vec V = (Vx,Vy), Vx = a + b,x,;Vy = a + b,y,
onde m/s e s⁻¹:
  1. a equação da linha de corrente que passa por , e
  2. a posição no instante s de uma partícula que estava em no instante .
    Para resolver:
  • Usamos que a linha de corrente satisfaz (é uma EDO em ).
  • Usamos que a trajetória (pathline) satisfaz e (são EDOs em e ).

Passo 2

(1) Linha de corrente
  1. A equação geral vem de
dydx=a+b,ya+b,x
  1. Separate as variáveis fazendo
(a+b,x),dy = (a+b,y),dx
  1. Note que dub = dy, dvb=dx Longrightarrow v,du = u,dv e integral duu = integral dvv ;Longrightarrow; ln u = ln v + C ;Longrightarrow; u = C,v leva a
a+b,y = C,(a+b,x)
  1. Integramos:
7 = Ccdot4 Rightarrow C=tfrac74
  1. Voltando a 2 + 1cdot y = tfrac74,(2+ x)Longrightarrow y = 74(x+2)-2 = 74 x + 32 :
  1. Impondo que em temos e , logo
  1. Isolando :

Passo 3

(2) Trajetória da partícula
  1. Temos as EDOs separáveis
dxdt = a + b,x, dydt=a + b,y
  1. Para dxa+bx = dt ;Longrightarrow; integraldxa+bx = integral dt ;Longrightarrow; 1bln(a+bx)=t+Kx ;Longrightarrow; a+bx = Dx e^bt :
x(t) = Dx e^bt-ab = a,e^b t-ab = 21l(e^t-1r)=2,(e^t-1)
Em a+b,y = Dy e^bt, Dy = a+ bcdot4 = 2+4=6, , y(t)=Dy e^bt-ab =6e^t -2 x(2)=2,(e^2-1), y(2)=6e^2 -2 , logo .
  1. Para é o mesmo raciocínio, mas com :
  1. Em :

Resposta

  1. Linha de corrente:
boxedy = 74,x + 32
  1. Posição em boxedl(2,(e^2-1),;6e^2-2r) s da partícula que passou por :

Exercícios relacionados