Um escoamento é descrito pelo campo de velocidade:
em que
e
. As coordenadas são medidas em metros.
1. Obtenha a equação para a linha de corrente que passa pelo ponto
.
2. Em
, quais são as coordenadas da partícula que passou pelo ponto
?
em que
1. Obtenha a equação para a linha de corrente que passa pelo ponto
2. Em
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para um escoamento com velocidade
onde
m/s e
s⁻¹:
- a equação da linha de corrente que passa por
, e - a posição no instante
s de uma partícula que estava em no instante .
Para resolver:
- Usamos que a linha de corrente satisfaz
(é uma EDO em ). - Usamos que a trajetória (pathline) satisfaz
e (são EDOs em e ).
Passo 2
(1) Linha de corrente
- A equação geral vem de
- Separate as variáveis fazendo
- Note que
e leva a
- Integramos:
- Voltando a
:
- Impondo que em
temos e , logo
- Isolando
:
Passo 3
(2) Trajetória da partícula
- Temos as EDOs separáveis
- Para
:
Em
,
dá
, logo
.
- Para
é o mesmo raciocínio, mas com :
- Em
:
Resposta
- Linha de corrente:
- Posição em
s da partícula que passou por :