Se o perfil de velocidade para um líquido bastante viscoso enquanto escoa por um canal retangular de
de largura é aproximado como
, onde y está em metros, DETERMINE a vazão volumétrica.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de mecânica dos fluidos. O enunciado fala sobre um líquido bem viscoso que está escoando por um canal retangular de 0,5 metros de largura. A velocidade do líquido em cada ponto do canal é dada pela fórmula $ u = 6y^2 $ metros por segundo, onde $ y $ é a posição vertical em metros. Nosso objetivo é calcular a vazão volumétrica $ Q $, que representa quanto líquido passa pelo canal por segundo.
Para resolver isso, vamos precisar entender como a velocidade varia no canal e como integrar essa velocidade sobre toda a seção transversal para encontrar a vazão total.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o canal. Ele é retangular e tem 0,5 metros de largura. Imagine que o eixo $ y $ vai do meio do canal (onde $ y = 0 $) até as bordas. Como a largura total é 0,5 m, isso significa que $ y $ varia de -0,25 m a +0,25 m.
A fórmula da velocidade que temos é $ u = 6y^2 $. Isso significa que a velocidade depende de $ y $, e como o $ y $ está ao quadrado, a velocidade é a mesma em posições simétricas em relação ao centro do canal.
Passo 3
Agora, para encontrar a vazão volumétrica $ Q $, precisamos integrar a velocidade $ u $ ao longo da largura do canal. A vazão volumétrica é dada pela fórmula:
Onde $ a $ é a metade da largura do canal. No nosso caso, $ a = 0,25 $ m.
Substituindo a expressão de $ u $:
Passo 4
Vamos resolver essa integral. Primeiro, note que $ y^2 $ é uma função par, o que significa que a integral de $ y^2 $ de -0,25 m a +0,25 m é o dobro da integral de 0 a 0,25 m. Assim, podemos simplificar:
Agora, vamos integrar $ 6y^2 $:
Passo 5
Aplicando os limites da integração:
Então, a vazão total é:
Passo 6
Mas atenção! A vazão $ Q $ é a quantidade de líquido que passa por uma seção transversal do canal por segundo. Como estamos considerando a largura total do canal, essa é a vazão final.
Passo 7
Portanto, a vazão volumétrica $ Q $ é:
Resposta
A vazão volumétrica $ Q $ é 0,0625 m³/s.