Em um escoamento laminar de um fluido incompressível completamente desenvolvido, entre duas placas paralelas fixas, o perfil de velocidade é v_{x}=4 v_{x m a ́ x} \frac{s_{0}-x}{a_{0}^{\frac{\pi}{2}}} \quad ; \quad v_{y}=0 \quad ; \quad v_{x}=0 \quad que é uma solução exata da equação de Navier-Stokes. Desprezando a gravidade, calcular a distribuição de pressão e a distribuição de
esforço viscoso (\tau), utilizando Zo, v_{x \text { mix }} e a \mu como parâmetros. Qual é a vazão volumétrica?
Resposta: \frac{d P}{d x}=8 v_{x \text { máx }} \mu / z_{0}^{2} ; \tau=\left(4 v_{x \text { max }} \mu / z_{0}^{2}\right)\left(z_{0}-2 z\right) ; \quad \bar{v}=\frac{4}{3} b z_{0} v_{x \text { max }}
Passo 1
Vou escrever claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos (pegarei a convenção usual para coordenadas):
Escoamento incompressível, laminar, estacionário e completamente desenvolvido entre duas placas paralelas fixas separadas por uma distância \,z_0.
O escoamento é unidimensional: v_x=v_x(z), v_y=0, v_z=0. Há um perfil parabólico (forma padrão de Poiseuille entre placas).
A viscosidade dinâmica do fluido é \mu.
Denota-se o valor máximo da velocidade por v_{x\max} (ocorre no centro do canal, z=z_0/2).
A largura (na direção perpendicular a x e z) do canal é b — necessária para calcular a vazão volumétrica.
O que se pede:
Calcular a distribuição de pressão (isto é, obter \dfrac{dP}{dx} em função de \mu, v_{x\max} e z_0).
Calcular a distribuição do esforço viscoso (tensão de cisalhamento) \tau(z).
Calcular a vazão volumétrica ( \dot{Q} ) através do canal, em termos de b, z_0 e v_{x\max}.
Passo 2
Escrevendo a equação de Navier–Stokes para este caso simplificado e explicando cada termo.
A forma geral (completa) da equação de quantidade de movimento na direção x é complexa, mas para este problema podemos usar as hipóteses:
Escoamento estacionário: \partial/\partial t=0.
Completamente desenvolvido: não há variação de velocidade na direção x, isto é \partial v_x/\partial x = 0.
Não há velocidades nas outras direções: v_y=v_z=0.
Não há forças de volume (desprezar gravidade).
Fluido newtoniano com viscosidade constante \mu.
Sob essas hipóteses, a equação de Navier–Stokes na direção x reduz-se a uma relação simples entre gradiente de pressão e viscosidade:
0 = -\frac{dP}{dx} + \mu \frac{d^{2}v_x}{dz^{2}}.
Aqui:
\dfrac{dP}{dx} é o gradiente de pressão ao longo da direção de escoamento x (é constante porque o escoamento é plenamente desenvolvido).
\mu é a viscosidade dinâmica.
\dfrac{d^{2}v_x}{dz^{2}} é a segunda derivada do perfil de velocidade em relação à coordenada transversal z.
Passo 3
Integração da equação diferencial para obter o perfil de velocidade geral e aplicação das condições de contorno.
Observação de sinal (muito importante): tipicamente, para escoamento no sentido positivo de x, a pressão diminui na direção do fluxo, logo \dfrac{dP}{dx}<0. A expressão acima mostra isso explicitamente: se v_{x\max}>0 então \dfrac{dP}{dx} é negativa. Em muitos enunciados usa-se apenas o módulo do gradiente; a magnitude é \big|\dfrac{dP}{dx}\big|=8\mu v_{x\max}/z_0^2.
Passo 5
Reescrever o perfil de velocidade na forma normalizada usada frequentemente (com v_{x\max}).
A partir de \dfrac{dP}{dx} = -\dfrac{8\mu v_{x\max}}{z_0^{2}} substituímos em v_x(z)=\dfrac{1}{2\mu}\dfrac{dP}{dx}\,z(z-z_0). Fazendo as contas:
v_x(z) = \frac{1}{2\mu}\left(-\frac{8\mu v_{x\max}}{z_0^{2}}\right) z (z - z_0) = \frac{4 v_{x\max}}{z_0^{2}}\; z (z_0 - z).
Outra forma equivalente, usando frações adimensionais, é