Em um escoamento laminar de um fluido incompressível completamente desenvolvido, entre duas placas paralelas fixas, o perfil de velocidade é v_{x}=4 v_{x m a ́ x} \frac{s_{0}-x}{a_{0}^{\frac{\pi}{2}}} \quad ; \quad v_{y}=0 \quad ; \quad v_{x}=0 \quad que é uma solução exata da equação de Navier-Stokes. Desprezando a gravidade, calcular a distribuição de pressão e a distribuição de
esforço viscoso (\tau), utilizando Zo, v_{x \text { mix }} e a \mu como parâmetros. Qual é a vazão volumétrica?
Resposta: \frac{d P}{d x}=8 v_{x \text { máx }} \mu / z_{0}^{2} ; \tau=\left(4 v_{x \text { max }} \mu / z_{0}^{2}\right)\left(z_{0}-2 z\right) ; \quad \bar{v}=\frac{4}{3} b z_{0} v_{x \text { max }}á

Passo 1

Vou escrever claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos (pegarei a convenção usual para coordenadas):
    • Escoamento incompressível, laminar, estacionário e completamente desenvolvido entre duas placas paralelas fixas separadas por uma distância \,z_0.
    • O escoamento é unidimensional: v_x=v_x(z), v_y=0, v_z=0. Há um perfil parabólico (forma padrão de Poiseuille entre placas).
    • A viscosidade dinâmica do fluido é \mu.
    • Denota-se o valor máximo da velocidade por v_{x\max} (ocorre no centro do canal, z=z_0/2).
    • A largura (na direção perpendicular a x e z) do canal é b — necessária para calcular a vazão volumétrica.
  • O que se pede:
    1. Calcular a distribuição de pressão (isto é, obter \dfrac{dP}{dx} em função de \mu, v_{x\max} e z_0).
    2. Calcular a distribuição do esforço viscoso (tensão de cisalhamento) \tau(z).
    3. Calcular a vazão volumétrica ( \dot{Q} ) através do canal, em termos de b, z_0 e v_{x\max}.

Passo 2

Escrevendo a equação de Navier–Stokes para este caso simplificado e explicando cada termo.
  • A forma geral (completa) da equação de quantidade de movimento na direção x é complexa, mas para este problema podemos usar as hipóteses:
    • Escoamento estacionário: \partial/\partial t=0.
    • Completamente desenvolvido: não há variação de velocidade na direção x, isto é \partial v_x/\partial x = 0.
    • Não há velocidades nas outras direções: v_y=v_z=0.
    • Não há forças de volume (desprezar gravidade).
    • Fluido newtoniano com viscosidade constante \mu.
  • Sob essas hipóteses, a equação de Navier–Stokes na direção x reduz-se a uma relação simples entre gradiente de pressão e viscosidade:
0 = -\frac{dP}{dx} + \mu \frac{d^{2}v_x}{dz^{2}}.
Aqui:
  • \dfrac{dP}{dx} é o gradiente de pressão ao longo da direção de escoamento x (é constante porque o escoamento é plenamente desenvolvido).
  • \mu é a viscosidade dinâmica.
  • \dfrac{d^{2}v_x}{dz^{2}} é a segunda derivada do perfil de velocidade em relação à coordenada transversal z.

Passo 3

Integração da equação diferencial para obter o perfil de velocidade geral e aplicação das condições de contorno.
  • A equação a integrar é
\mu \frac{d^{2}v_x}{dz^{2}} = \frac{dP}{dx}.
Dividindo por \mu e integrando duas vezes:
\frac{d^{2}v_x}{dz^{2}} = \frac{1}{\mu}\frac{dP}{dx}
\frac{dv_x}{dz} = \frac{1}{\mu}\frac{dP}{dx}\,z + C_1
v_x(z) = \frac{1}{2\mu}\frac{dP}{dx}\,z^{2} + C_1 z + C_2,
onde C_1 e C_2 são constantes de integração a determinar.
  • Condições de contorno (placas fixas, aderência):
    • Parede inferior em z=0: v_x(0)=0 ⇒ substituindo em v_x C_2=0.
    • Parede superior em z=z_0: v_x(z_0)=0
0 = \frac{1}{2\mu}\frac{dP}{dx}\,z_0^{2} + C_1 z_0.
Dessa relação obtemos
C_1 = -\frac{1}{2\mu}\frac{dP}{dx}\,z_0.
  • Substituindo C_1 e C_2 em v_x(z):
v_x(z) = \frac{1}{2\mu}\frac{dP}{dx}\,z^{2} -\frac{1}{2\mu}\frac{dP}{dx}\,z_0 z = \frac{1}{2\mu}\frac{dP}{dx}\,z\,(z - z_0).

Passo 4

Identificação do valor máximo da velocidade e relacionamento com \dfrac{dP}{dx}.
  • A forma obtida pode ser reescrita de maneira mais tradicional:
v_x(z) = -\frac{1}{2\mu}\left(-\frac{dP}{dx}\right) z (z_0 - z).
Observe que a função z(z_0-z) é positiva para 0<z<z_0 e tem máximo em z=z_0/2.
  • Valor máximo de v_x (no centro z=z_0/2):
v_{x\max} = v_x\!\left(\frac{z_0}{2}\right) = \frac{1}{2\mu}\frac{dP}{dx}\,\frac{z_0}{2}\!\left(\frac{z_0}{2}-z_0\right) = -\frac{1}{8\mu}\frac{dP}{dx}\,z_0^{2}.
Rearranjando para o gradiente de pressão:
\frac{dP}{dx} = -\frac{8\mu v_{x\max}}{z_0^{2}}.
  • Observação de sinal (muito importante): tipicamente, para escoamento no sentido positivo de x, a pressão diminui na direção do fluxo, logo \dfrac{dP}{dx}<0. A expressão acima mostra isso explicitamente: se v_{x\max}>0 então \dfrac{dP}{dx} é negativa. Em muitos enunciados usa-se apenas o módulo do gradiente; a magnitude é \big|\dfrac{dP}{dx}\big|=8\mu v_{x\max}/z_0^2.

Passo 5

Reescrever o perfil de velocidade na forma normalizada usada frequentemente (com v_{x\max}).
  • A partir de \dfrac{dP}{dx} = -\dfrac{8\mu v_{x\max}}{z_0^{2}} substituímos em v_x(z)=\dfrac{1}{2\mu}\dfrac{dP}{dx}\,z(z-z_0). Fazendo as contas:
v_x(z) = \frac{1}{2\mu}\left(-\frac{8\mu v_{x\max}}{z_0^{2}}\right) z (z - z_0) = \frac{4 v_{x\max}}{z_0^{2}}\; z (z_0 - z).
  • Outra forma equivalente, usando frações adimensionais, é
v_x(z) = 4 v_{x\max}\left(\frac{z}{z_0}\right)\left(1-\frac{z}{z_0}\right).
Isto é o perfil parabólico clássico entre placas.

Passo 6

Cálculo da tensão de cisalhamento viscosa \tau(z).
  • Para um fluido newtoniano a tensão de cisalhamento é
\tau(z) = \mu \frac{dv_x}{dz}.
  • Derivando o perfil v_x(z)=\dfrac{4 v_{x\max}}{z_0^{2}}(z_0 z - z^{2}):
\frac{dv_x}{dz} = \frac{4 v_{x\max}}{z_0^{2}}\,(z_0 - 2z).
  • Portanto a distribuição de esforço viscoso é
\tau(z) = \mu\,\frac{dv_x}{dz} = \frac{4\mu v_{x\max}}{z_0^{2}}\,(z_0 - 2z).
Observações:
  • Em z=0 (parede inferior) \tau(0)=\dfrac{4\mu v_{x\max}}{z_0} (valor de cisalhamento na parede).
  • Em z=z_0 (parede superior) \tau(z_0)=-\dfrac{4\mu v_{x\max}}{z_0} (sinal oposto, simétrico).
  • No centro z=z_0/2 tem \tau=0, como esperado.

Passo 7

Cálculo da vazão volumétrica \dot{Q}.
  • A vazão volumétrica através da seção (área A=b\cdot z_0) é
\dot{Q} = b \int_{0}^{z_0} v_x(z)\,dz,
onde b é a largura do canal (perpendicular ao plano x z).
  • Substituindo v_x(z)=\dfrac{4 v_{x\max}}{z_0^{2}}(z_0 z - z^{2}):
\int_{0}^{z_0} v_x(z)\,dz = \frac{4 v_{x\max}}{z_0^{2}} \int_{0}^{z_0} \big(z_0 z - z^{2}\big)\,dz.
Calcule a integral passo a passo:
\int_{0}^{z_0} \big(z_0 z - z^{2}\big)\,dz = z_0\frac{z_0^{2}}{2} - \frac{z_0^{3}}{3} = z_0^{3}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right) = z_0^{3}\cdot\frac{1}{6}.
Logo
\int_{0}^{z_0} v_x(z)\,dz = \frac{4 v_{x\max}}{z_0^{2}}\cdot \frac{z_0^{3}}{6} = \frac{2}{3} v_{x\max} z_0.
  • Portanto a vazão volumétrica é
\dot{Q} = b \cdot \frac{2}{3} v_{x\max} z_0 = \frac{2}{3} b z_0 v_{x\max}.
  • Pode-se também definir a velocidade média sobre a seção:
\bar{v} = \frac{\dot{Q}}{b z_0} = \frac{2}{3} v_{x\max}.

Resposta

\dfrac{dP}{dx} = -\dfrac{8\mu\,v_{x\max}}{z_{0}^{2}}
\tau(z) = \dfrac{4\mu\,v_{x\max}}{z_{0}^{2}}\,(z_{0}-2z)
\dot{Q} = \dfrac{2}{3}\,b\,z_{0}\,v_{x\max}

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