4- Considere um tubo longo e oco, que tem sua superficie externa termicamente isolada (no raio externo r_{2} ) e sua superficie interna (raio r_{1} ) resfriada pelo escoamento de um fluido com coeficiente de filme h e temperatura T_{\infty}. No interior da parede do tubo ocorre geração uniforme de calor a uma taxa \dot{q}\left(\mathrm{~W} / \mathrm{m}^{3}\right). Obtenha a equação que descreve a distribuição de temperatura na parede do tubo e uma equação para a taxa de dissipação de calor por unidade de comprimento do tubo.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo claramente):
  • Tubo longo e oco, com interior entre os raios \,r_1 (superfície interna) e \,r_2 (superfície externa).
  • A superfície externa (em \,r=r_2) é termicamente isolada.
  • A superfície interna (em \,r=r_1) está em contato com um fluido com coeficiente de filme \,h e temperatura \,T_{\infty} (ou seja, há convecção no raio interno).
  • Há geração volumétrica uniforme de calor dentro da parede do tubo, à taxa \,\dot q (unidade \mathrm{W/m^3}).
  • Procura-se:
    1. A equação que descreve a distribuição de temperatura \,T(r) na parede do tubo (ou seja, para \,r_1\le r\le r_2).
    2. Uma equação para a taxa de dissipação de calor por unidade de comprimento do tubo (isto é, a potência removida por unidade de comprimento, em \mathrm{W/m}).

Passo 2

Assumptions e equação governante (explicação física):
  • Como o tubo é longo, supõe-se regime estacionário e simetria cilíndrica: não há variação axial nem azimutal da temperatura, só depende de \,r.
  • As propriedades térmicas (condutividade \,k) são constantes.
  • Fazer um balanço de energia numa casca cilíndrica de raio r e espessura \mathrm{d}r leva, para condução radial com geração volumétrica uniforme, à equação diferencial (equação de Poisson em coordenadas cilíndricas, forma radial):
\frac{1}{r}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\!\left(r\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}r}\right)+\frac{\dot q}{k}=0.
Aqui:
  • T(r) é a temperatura (função de r);
  • \dot q é a geração volumétrica ( \mathrm{W/m^3});
  • k é a condutividade térmica ( \mathrm{W/(m\cdot K)}).
Explicando a equação de maneira simples: o primeiro termo representa a divergência do fluxo radial (condução) e o segundo é a fonte volumétrica dividida por k; no estado estacionário essas quantidades somam zero.

Passo 3

Solução geral da equação diferencial (integração):
Multiplicando por r e integrando:
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\!\left(r\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}r}\right)=-\frac{\dot q}{k}\,r.
Integrando em r:
r\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}r}=-\frac{\dot q}{2k}\,r^{2}+C_{1},
onde C_{1} é constante de integração. Dividindo por r:
\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}r}=-\frac{\dot q}{2k}\,r+\frac{C_{1}}{r}.
Integrando novamente:
T(r)=-\frac{\dot q}{4k}\,r^{2}+C_{1}\ln r + C_{2},
onde C_{2} é a segunda constante de integração.
Comentário prático: a solução é soma de uma parte polinomial (devida à geração) e de uma parte logarítmica (modo homogêneo da equação em cilindros).

Passo 4

Aplicar a condição de isolamento em r=r_{2}:
  • Isolamento externo significa fluxo radial nulo em r_2, ou seja \,\dfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}r}\big|_{r_2}=0.
    Usando \dfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}r}=-\dfrac{\dot q}{2k}r+\dfrac{C_1}{r}, obtemos em r=r_2:
0=-\frac{\dot q}{2k}\,r_{2}+\frac{C_{1}}{r_{2}} \quad\Rightarrow\quad C_{1}=\frac{\dot q}{2k}\,r_{2}^{2}.
Substituindo C_{1} na expressão de T(r):
T(r)=-\frac{\dot q}{4k}\,r^{2}+\frac{\dot q}{2k}\,r_{2}^{2}\ln r + C_{2}.

Passo 5

Aplicar a condição de convecção em r=r_{1} (explicando a física):
  • A superfície interna troca calor por convecção com o fluido. A potência convectiva por unidade de comprimento é 2\pi r_{1} h\big(T(r_{1})-T_{\infty}\big).
  • Como a superfície externa é isolada, todo o calor gerado no material entre r_1 e r_2 deve ser removido pelo fluido através da superfície interna. Assim a taxa de calor removida por unidade de comprimento é igual à geração total por unidade de comprimento:
Q'_{\text{diss}}=\dot q\int_{r_{1}}^{r_{2}}2\pi r\,\mathrm{d}r=\dot q\,\pi\big(r_{2}^{2}-r_{1}^{2}\big).
Portanto também vale:
2\pi r_{1}\,h\big(T(r_{1})-T_{\infty}\big)=\dot q\,\pi\big(r_{2}^{2}-r_{1}^{2}\big).
Dessa igualdade isolamos a diferença de temperatura na superfície interna:
T(r_{1})-T_{\infty}=\frac{\dot q}{2h}\left(\frac{r_{2}^{2}-r_{1}^{2}}{r_{1}}\right) =\frac{\dot q}{2h}\left(\frac{r_{2}^{2}}{r_{1}}-r_{1}\right).

Passo 6

Determinar C_{2} e obter T(r) explícita:
  • Use a expressão de T(r) em r=r_{1}:
T(r_{1})=-\frac{\dot q}{4k}\,r_{1}^{2}+\frac{\dot q}{2k}\,r_{2}^{2}\ln r_{1}+C_{2}.
Substituindo T(r_{1})-T_{\infty} da condição de convecção:
-\frac{\dot q}{4k}\,r_{1}^{2}+\frac{\dot q}{2k}\,r_{2}^{2}\ln r_{1}+C_{2}-T_{\infty} =\frac{\dot q}{2h}\left(\frac{r_{2}^{2}}{r_{1}}-r_{1}\right).
Isolando C_{2}:
C_{2}=T_{\infty}+\frac{\dot q}{4k}\,r_{1}^{2}-\frac{\dot q}{2k}\,r_{2}^{2}\ln r_{1} +\frac{\dot q}{2h}\left(\frac{r_{2}^{2}}{r_{1}}-r_{1}\right).
Substituindo C_{2} em T(r) e agrupando termos obtemos uma forma compacta e prática:
T(r)=T_{\infty}+\frac{\dot q}{4k}\big(r_{1}^{2}-r^{2}\big) +\frac{\dot q\,r_{2}^{2}}{2k}\ln\!\left(\frac{r}{r_{1}}\right) +\frac{\dot q}{2h}\left(\frac{r_{2}^{2}}{r_{1}}-r_{1}\right).
Podemos reorganizar os termos do primeiro parêntese para uma única expressão:
T(r)=T_{\infty}+\frac{\dot q}{4k}\!\left[r_{1}^{2}-r^{2}+2r_{2}^{2}\ln\!\left(\frac{r}{r_{1}}\right)\right] +\frac{\dot q}{2h}\left(\frac{r_{2}^{2}}{r_{1}}-r_{1}\right).
Esta é a distribuição de temperatura dentro da parede para r_{1}\le r\le r_{2}.
Observação física curta: o último termo (com 1/h) representa a elevação adicional de temperatura devido à resistência convectiva na superfície interna; os termos com k representam distribuição interna de temperatura devido à geração e condução.

Passo 7

Equação para a taxa de dissipação de calor por unidade de comprimento:
  • Já usamos o balanço para obter uma forma, e a taxa de dissipação por unidade de comprimento (potência removida pelo fluido) é simplesmente a geração total por unidade de comprimento:
Q'_{\text{diss}}=\dot q\int_{r_{1}}^{r_{2}}2\pi r\,\mathrm{d}r=\dot q\,\pi\big(r_{2}^{2}-r_{1}^{2}\big).
  • Alternativamente, escrita via convecção na superfície interna:
Q'_{\text{diss}}=2\pi r_{1}\,h\big(T(r_{1})-T_{\infty}\big),
onde T(r_{1}) é dado pela expressão obtida no passo anterior (e se desejar pode substituir para verificar que as duas formas coincidem).

Resposta

T(r)=T_{\infty}+\frac{\dot q}{4k}\!\left[r_{1}^{2}-r^{2}+2r_{2}^{2}\ln\!\left(\frac{r}{r_{1}}\right)\right] +\frac{\dot q}{2h}\left(\frac{r_{2}^{2}}{r_{1}}-r_{1}\right)
Q'_{\text{diss}}=\dot q\,\pi\big(r_{2}^{2}-r_{1}^{2}\big)=2\pi r_{1}\,h\big(T(r_{1})-T_{\infty}\big)

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