4- Considere um tubo longo e oco, que tem sua superficie externa termicamente isolada (no raio externo r_{2} ) e sua superficie interna (raio r_{1} ) resfriada pelo escoamento de um fluido com coeficiente de filme h e temperatura T_{\infty}. No interior da parede do tubo ocorre geração uniforme de calor a uma taxa \dot{q}\left(\mathrm{~W} / \mathrm{m}^{3}\right). Obtenha a equação que descreve a distribuição de temperatura na parede do tubo e uma equação para a taxa de dissipação de calor por unidade de comprimento do tubo.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo claramente):
Tubo longo e oco, com interior entre os raios \,r_1 (superfície interna) e \,r_2 (superfície externa).
A superfície externa (em \,r=r_2) é termicamente isolada.
A superfície interna (em \,r=r_1) está em contato com um fluido com coeficiente de filme \,h e temperatura \,T_{\infty} (ou seja, há convecção no raio interno).
Há geração volumétrica uniforme de calor dentro da parede do tubo, à taxa \,\dot q (unidade \mathrm{W/m^3}).
Procura-se:
A equação que descreve a distribuição de temperatura \,T(r) na parede do tubo (ou seja, para \,r_1\le r\le r_2).
Uma equação para a taxa de dissipação de calor por unidade de comprimento do tubo (isto é, a potência removida por unidade de comprimento, em \mathrm{W/m}).
Passo 2
Assumptions e equação governante (explicação física):
Como o tubo é longo, supõe-se regime estacionário e simetria cilíndrica: não há variação axial nem azimutal da temperatura, só depende de \,r.
As propriedades térmicas (condutividade \,k) são constantes.
Fazer um balanço de energia numa casca cilíndrica de raio r e espessura \mathrm{d}r leva, para condução radial com geração volumétrica uniforme, à equação diferencial (equação de Poisson em coordenadas cilíndricas, forma radial):
k é a condutividade térmica (\mathrm{W/(m\cdot K)}).
Explicando a equação de maneira simples: o primeiro termo representa a divergência do fluxo radial (condução) e o segundo é a fonte volumétrica dividida por k; no estado estacionário essas quantidades somam zero.
Passo 3
Solução geral da equação diferencial (integração):
Multiplicando por r e integrando:
T(r)=-\frac{\dot q}{4k}\,r^{2}+C_{1}\ln r + C_{2},
onde C_{2} é a segunda constante de integração.
Comentário prático: a solução é soma de uma parte polinomial (devida à geração) e de uma parte logarítmica (modo homogêneo da equação em cilindros).
Passo 4
Aplicar a condição de isolamento em r=r_{2}:
Isolamento externo significa fluxo radial nulo em r_2, ou seja \,\dfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}r}\big|_{r_2}=0.
Usando \dfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}r}=-\dfrac{\dot q}{2k}r+\dfrac{C_1}{r}, obtemos em r=r_2:
T(r)=-\frac{\dot q}{4k}\,r^{2}+\frac{\dot q}{2k}\,r_{2}^{2}\ln r + C_{2}.
Passo 5
Aplicar a condição de convecção em r=r_{1} (explicando a física):
A superfície interna troca calor por convecção com o fluido. A potência convectiva por unidade de comprimento é 2\pi r_{1} h\big(T(r_{1})-T_{\infty}\big).
Como a superfície externa é isolada, todo o calor gerado no material entre r_1 e r_2 deve ser removido pelo fluido através da superfície interna. Assim a taxa de calor removida por unidade de comprimento é igual à geração total por unidade de comprimento:
Esta é a distribuição de temperatura dentro da parede para r_{1}\le r\le r_{2}.
Observação física curta: o último termo (com 1/h) representa a elevação adicional de temperatura devido à resistência convectiva na superfície interna; os termos com k representam distribuição interna de temperatura devido à geração e condução.
Passo 7
Equação para a taxa de dissipação de calor por unidade de comprimento:
Já usamos o balanço para obter uma forma, e a taxa de dissipação por unidade de comprimento (potência removida pelo fluido) é simplesmente a geração total por unidade de comprimento: