3- Uma lâmina de material radiativo ( \mathrm{k}=21 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} . \mathrm{K}) ) com 7,5 \mathrm{~cm} de espessura e área superficial muito grande gera energia internamente a uma taxa volumétrica \dot{a}=0,35 \mathrm{MW} / \mathrm{m}^{3}. Uma das superfícies da lâmina encontrase termicamente bem isolada e a superfície oposta dissipa calor por convecção para um fluido de resfriamento com coeficiente convectivo \mathrm{h}=570 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} . \mathrm{K}\right). Em regime estacionário, pede-se: T_{\text {flvido }}=25^{\circ} \mathrm{C}
(a) Esquematize o problema indicando dados e variáveis relevantes e especifique as considerações adotadas;
(b) Estime a temperatura na superfície exposta ao fluido de resfriamento;
(c) Estime a máxima temperatura no interior do material.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
A outra superfície troca calor por convecção com coeficiente h=570\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}) para um fluido à temperatura T_{\infty}=25^\circ\mathrm{C}.
Regime estacionário.
O enunciado pede:
(a) Esquematizar o problema indicando dados e variáveis relevantes e especificar as considerações adotadas;
(b) Estimar a temperatura na superfície exposta ao fluido de resfriamento (a superfície com convecção);
(c) Estimar a máxima temperatura no interior do material (e indicar onde ocorre).
Passo 2
Escolha do modelo e hipóteses (esquema e considerações). Aqui estou explicitando o que assumo para poder resolver o problema:
Coordenada: tomo x medida a partir da superfície isolada (x=0) até a superfície exposta (x=L).
Regime estacionário → temperaturas independentes do tempo.
Geometria: área superficial muito grande → posso tratar como um problema unidimensional (apenas variação em x), desprezando efeitos nas bordas.
Propriedades constantes: k constante no material.
Geração volumétrica uniforme: \dot{a} constante por unidade de volume.
Condições de contorno:
Em x=0: isolante ⇒ fluxo de calor através da superfície nulo ⇒ \left.\dfrac{dT}{dx}\right|_{x=0}=0.
Em x=L: convecção para fluido ⇒ -k\left.\dfrac{dT}{dx}\right|_{x=L}=h\left[T(L)-T_{\infty}\right].
(Resposta ao item (a) pronta; nas próximas etapas uso essas hipóteses para resolver matematicamente.)
Passo 3
Equação diferencial de conservação de energia (aula curta):
Para uma barra/placa unidimensional em regime estacionário com geração volumétrica uniforme \dot{a} e k constante, o balanço energético local leva à equação
Explicação: a segunda derivada da temperatura indica a curvatura do campo térmico; a geração volumétrica aparece como fonte negativa na equação porque produz calor que faz a curva subir.
Passo 4
Integração da equação diferencial (passo a passo):
Integro duas vezes para obter T(x). Integrando a primeira vez:
\frac{dT}{dx}=-\frac{\dot{a}}{k}x+C_1.
Integro novamente:
T(x)=-\frac{\dot{a}}{2k}x^2+C_1 x + C_2.
Aqui C_1 e C_2 são constantes de integração que vamos determinar pelas condições de contorno. Interpretação física: o termo quadrático vem da geração volumétrica, o termo linear vem da possibilidade de fluxo líquido, e C_2 é uma temperatura de referência.
Passo 5
Aplicação da condição de isolante em x=0: \left.\dfrac{dT}{dx}\right|_{x=0}=0.
Da expressão da derivada:
Isso tem interpretação física simples: a geração total por unidade de área acumulada até x=L é \dot{a}L, que deve ser removida por convecção no equilíbrio.
(Arredondei para duas casas decimais na resposta final.)
Passo 8
Determinar a temperatura máxima no interior e onde ela ocorre (explicação e conta):
Com a solução T(x)=-\dfrac{\dot{a}}{2k}x^2+C_2 e sabendo que \dfrac{dT}{dx}=-\dfrac{\dot{a}}{k}x, vemos que \dfrac{dT}{dx}=0 em x=0. Como a concavidade \dfrac{d^2T}{dx^2}=-\dfrac{\dot{a}}{k}<0 (negativa), esse ponto x=0 é um máximo. Ou seja, a temperatura máxima ocorre na superfície isolada x=0.
Para obter o valor máximo T_{\max}=T(0)=C_2, usamos a expressão que relaciona T(L) com C_2: