3- Uma lâmina de material radiativo ( \mathrm{k}=21 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} . \mathrm{K}) ) com 7,5 \mathrm{~cm} de espessura e área superficial muito grande gera energia internamente a uma taxa volumétrica \dot{a}=0,35 \mathrm{MW} / \mathrm{m}^{3}. Uma das superfícies da lâmina encontrase termicamente bem isolada e a superfície oposta dissipa calor por convecção para um fluido de resfriamento com coeficiente convectivo \mathrm{h}=570 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} . \mathrm{K}\right). Em regime estacionário, pede-se: T_{\text {flvido }}=25^{\circ} \mathrm{C}
(a) Esquematize o problema indicando dados e variáveis relevantes e especifique as considerações adotadas;
(b) Estime a temperatura na superfície exposta ao fluido de resfriamento;
(c) Estime a máxima temperatura no interior do material.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados (pegos do enunciado):
  • Condutividade térmica: k=21\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}).
  • Espessura da lâmina: 7,5\\ \mathrm{cm}. Vou usar L=0,075\\ \mathrm{m}.
  • Geração volumétrica uniforme: \dot{a}=0,35\\ \mathrm{MW}/\mathrm{m}^3 = 0,35\times10^{6}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^3.
  • Uma superfície está termicamente bem isolada.
  • A outra superfície troca calor por convecção com coeficiente h=570\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}) para um fluido à temperatura T_{\infty}=25^\circ\mathrm{C}.
  • Regime estacionário.
O enunciado pede:
(a) Esquematizar o problema indicando dados e variáveis relevantes e especificar as considerações adotadas;
(b) Estimar a temperatura na superfície exposta ao fluido de resfriamento (a superfície com convecção);
(c) Estimar a máxima temperatura no interior do material (e indicar onde ocorre).

Passo 2

Escolha do modelo e hipóteses (esquema e considerações). Aqui estou explicitando o que assumo para poder resolver o problema:
  • Coordenada: tomo x medida a partir da superfície isolada ( x=0) até a superfície exposta ( x=L).
  • Regime estacionário → temperaturas independentes do tempo.
  • Geometria: área superficial muito grande → posso tratar como um problema unidimensional (apenas variação em x), desprezando efeitos nas bordas.
  • Propriedades constantes: k constante no material.
  • Geração volumétrica uniforme: \dot{a} constante por unidade de volume.
  • Condições de contorno:
    • Em x=0: isolante ⇒ fluxo de calor através da superfície nulo ⇒ \left.\dfrac{dT}{dx}\right|_{x=0}=0.
    • Em x=L: convecção para fluido ⇒ -k\left.\dfrac{dT}{dx}\right|_{x=L}=h\left[T(L)-T_{\infty}\right].
(Resposta ao item (a) pronta; nas próximas etapas uso essas hipóteses para resolver matematicamente.)

Passo 3

Equação diferencial de conservação de energia (aula curta):
Para uma barra/placa unidimensional em regime estacionário com geração volumétrica uniforme \dot{a} e k constante, o balanço energético local leva à equação
\frac{d}{dx}\!\left(k\frac{dT}{dx}\right)+\dot{a}=0.
Como k é constante isso simplifica para
k\frac{d^2T}{dx^2}+\dot{a}=0 \quad\Rightarrow\quad \frac{d^2T}{dx^2}=-\frac{\dot{a}}{k}.
Explicação: a segunda derivada da temperatura indica a curvatura do campo térmico; a geração volumétrica aparece como fonte negativa na equação porque produz calor que faz a curva subir.

Passo 4

Integração da equação diferencial (passo a passo):
Integro duas vezes para obter T(x). Integrando a primeira vez:
\frac{dT}{dx}=-\frac{\dot{a}}{k}x+C_1.
Integro novamente:
T(x)=-\frac{\dot{a}}{2k}x^2+C_1 x + C_2.
Aqui C_1 e C_2 são constantes de integração que vamos determinar pelas condições de contorno. Interpretação física: o termo quadrático vem da geração volumétrica, o termo linear vem da possibilidade de fluxo líquido, e C_2 é uma temperatura de referência.

Passo 5

Aplicação da condição de isolante em x=0: \left.\dfrac{dT}{dx}\right|_{x=0}=0.
Da expressão da derivada:
\left.\frac{dT}{dx}\right|_{x=0}=-\frac{\dot{a}}{k}\cdot 0 + C_1 = C_1.
Portanto
C_1=0.
Assim a solução simplifica para
T(x)=-\frac{\dot{a}}{2k}x^2 + C_2.

Passo 6

Aplicação da condição de convecção em x=L: balanço fluxo condutivo = convecção:
-k\left.\frac{dT}{dx}\right|_{x=L}=h\left[T(L)-T_{\infty}\right].
Calculo a derivada com C_1=0:
\left.\frac{dT}{dx}\right|_{x=L}=-\frac{\dot{a}}{k}L.
Logo o fluxo condutivo na superfície é
-q''(L) \equiv -k\left.\frac{dT}{dx}\right|_{x=L}= -k\left(-\frac{\dot{a}}{k}L\right)=\dot{a}L.
Isso tem interpretação física simples: a geração total por unidade de área acumulada até x=L é \dot{a}L, que deve ser removida por convecção no equilíbrio.
Agora uso essa igualdade para obter T(L):
\dot{a}L = h\left[T(L)-T_{\infty}\right] \quad\Rightarrow\quad T(L)=T_{\infty}+\frac{\dot{a}L}{h}.
Essa é uma fórmula direta e útil: a diferença entre a temperatura da superfície e a do fluido é \dfrac{\dot{a}L}{h}.

Passo 7

Cálculo numérico de T(L) (detalhando as contas sem pular etapas):
Substituo os valores (todos em TeX):
\dot{a}=0,35\times10^{6}\\ \mathrm{W/m^3},\qquad L=0,075\\ \mathrm{m},\qquad h=570\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}),
\frac{\dot{a}L}{h}=\frac{0,35\times10^{6}\times 0,075}{570}.
Faço em duas etapas: o numerador
0,35\times10^{6}\times 0,075 = 0,35\times 0,075 \times 10^{6} = 0,02625\times10^{6}=26250\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.
Agora dividindo por 570:
\frac{26250}{570}\approx 46,0526\\ \mathrm{K}.
Portanto
T(L)=T_{\infty}+\frac{\dot{a}L}{h}=25^\circ\mathrm{C}+46,05\\ \mathrm{K}\approx 71,05^\circ\mathrm{C}.
(Arredondei para duas casas decimais na resposta final.)

Passo 8

Determinar a temperatura máxima no interior e onde ela ocorre (explicação e conta):
Com a solução T(x)=-\dfrac{\dot{a}}{2k}x^2+C_2 e sabendo que \dfrac{dT}{dx}=-\dfrac{\dot{a}}{k}x, vemos que \dfrac{dT}{dx}=0 em x=0. Como a concavidade \dfrac{d^2T}{dx^2}=-\dfrac{\dot{a}}{k}<0 (negativa), esse ponto x=0 é um máximo. Ou seja, a temperatura máxima ocorre na superfície isolada x=0.
Para obter o valor máximo T_{\max}=T(0)=C_2, usamos a expressão que relaciona T(L) com C_2:
T(L)=-\frac{\dot{a}}{2k}L^2 + C_2 \quad\Rightarrow\quad C_2 = T(L) + \frac{\dot{a}}{2k}L^2.
Logo
T_{\max}=T(0)=T(L) + \frac{\dot{a}L^2}{2k}.

Passo 9

Cálculo numérico de T_{\max} (detalhando as contas):
Primeiro calculo o termo adicional
\frac{\dot{a}L^2}{2k}=\frac{0,35\times10^{6}\times (0,075)^2}{2\times 21}.
Calculo passo a passo:
(0,075)^2=0,005625.
0,35\times10^{6}\times 0,005625 = 0,35\times 0,005625\times10^{6} = 0,00196875\times10^{6}=1968,75.
Dividindo por 2\times 21 =42:
\frac{1968,75}{42}=46,875\\ \mathrm{K}.
Agora somo com T(L) (já calculado \approx 71,05^\circ\mathrm{C}):
T_{\max}=71,05^\circ\mathrm{C}+46,875\\ \mathrm{K}\approx 117,93^\circ\mathrm{C}.
Portanto a temperatura máxima no interior é aproximadamente 117,93^\circ\mathrm{C} e ocorre em x=0 (superfície isolada).

Resposta

(a) Placa plana de espessura L=0,075\\ \mathrm{m}; superfície em x=0 isolada ( \left.\dfrac{dT}{dx}\right|_{x=0}=0); superfície em x=L com convecção ( -k\left.\dfrac{dT}{dx}\right|_{x=L}=h[T(L)-T_{\infty}]); geração volumétrica uniforme \dot{a}=0,35\times10^{6}\\ \mathrm{W/m^3}; modelo unidimensional, regime estacionário e k constante.
(b) T(L)\approx 71,05^\circ\mathrm{C}.
(c) T_{\max}=T(0)\approx 117,93^\circ\mathrm{C} (ocorre na superfície isolada x=0).

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