Num escoamento que ocorre no plano (x y), o campo de velocidades é dado por: \vec{V}= (2 x t) \hat{i}+(y 2 t) \hat{j}. Determine a aceleração no ponto \mathrm{P}=(2,2) no instante t=3 s Unidade de medida da velocidade: \mathrm{m} / \mathrm{s}
Passo 1
O enunciado dá o campo de velocidades no plano xy:
\vec{V}(x,y,t) = (2 x t)\,\hat{i} + (2 t y)\,\hat{j}.
Ponto onde devemos avaliar a aceleração: P=(2,2). Instante: t=3\\ \text{s}. Unidade da velocidade: \mathrm{m/s}.
O que a questão pede: determinar a aceleração no ponto P no instante t=3\\ \text{s}.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (a aceleração de uma partícula fluida): a aceleração material é a derivada total da velocidade seguindo a partícula. Em notação vetorial:
\displaystyle \frac{\partial \vec{V}}{\partial t} é a derivada parcial da velocidade em relação ao tempo mantendo x,y fixos — diz quanto a velocidade muda explicitamente com o tempo num ponto fixo do espaço.
\nabla é o operador gradiente: \displaystyle \nabla = \hat{i}\frac{\partial}{\partial x} + \hat{j}\frac{\partial}{\partial y}.
(\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V} é o termo convectivo: primeiro calcula-se o produto escalar \vec V\cdot\nabla (que é uma combinação de derivadas direcionais) e aplica-se isso ao vetor \vec V. Em componentes, para um campo bidimensional \vec V=(V_x,V_y),