Num escoamento que ocorre no plano (x y), o campo de velocidades é dado por: \vec{V}= (2 x t) \hat{i}+(y 2 t) \hat{j}. Determine a aceleração no ponto \mathrm{P}=(2,2) no instante t=3 s Unidade de medida da velocidade: \mathrm{m} / \mathrm{s}

Passo 1

O enunciado dá o campo de velocidades no plano xy:
\vec{V}(x,y,t) = (2 x t)\,\hat{i} + (2 t y)\,\hat{j}.
Ponto onde devemos avaliar a aceleração: P=(2,2). Instante: t=3\\ \text{s}. Unidade da velocidade: \mathrm{m/s}.
O que a questão pede: determinar a aceleração no ponto P no instante t=3\\ \text{s}.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (a aceleração de uma partícula fluida): a aceleração material é a derivada total da velocidade seguindo a partícula. Em notação vetorial:
\vec{a} = \frac{\partial \vec{V}}{\partial t} + (\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V}.
Explicando cada termo, devagarzinho:
  • \displaystyle \frac{\partial \vec{V}}{\partial t} é a derivada parcial da velocidade em relação ao tempo mantendo x,y fixos — diz quanto a velocidade muda explicitamente com o tempo num ponto fixo do espaço.
  • \nabla é o operador gradiente: \displaystyle \nabla = \hat{i}\frac{\partial}{\partial x} + \hat{j}\frac{\partial}{\partial y}.
  • (\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V} é o termo convectivo: primeiro calcula-se o produto escalar \vec V\cdot\nabla (que é uma combinação de derivadas direcionais) e aplica-se isso ao vetor \vec V. Em componentes, para um campo bidimensional \vec V=(V_x,V_y),
(\vec V\cdot\nabla)\vec V = \begin{pmatrix} V_x\frac{\partial V_x}{\partial x}+V_y\frac{\partial V_x}{\partial y}\\[4pt] V_x\frac{\partial V_y}{\partial x}+V_y\frac{\partial V_y}{\partial y} \end{pmatrix}.
Intuição: esse termo representa a mudança de velocidade que a partícula percebe por se mover para regiões onde a velocidade varia no espaço.]

Passo 3

Calcular a derivada parcial temporal \displaystyle \frac{\partial \vec{V}}{\partial t} componente a componente.
Dado \displaystyle V_x=2xt e \displaystyle V_y=2ty,
\frac{\partial V_x}{\partial t} = 2x, \qquad \frac{\partial V_y}{\partial t} = 2y.
Logo,
\frac{\partial \vec{V}}{\partial t} = (2x)\,\hat{i} + (2y)\,\hat{j}.

Passo 4

Calcular as derivadas espaciais necessárias para o termo convectivo.
Derivadas parciais:
\frac{\partial V_x}{\partial x} = \frac{\partial (2xt)}{\partial x} = 2t, \qquad \frac{\partial V_x}{\partial y} = 0,
\frac{\partial V_y}{\partial x} = 0, \qquad \frac{\partial V_y}{\partial y} = \frac{\partial (2ty)}{\partial y} = 2t.
Também recordando os componentes do campo:
V_x = 2xt,\qquad V_y = 2ty.
Agora aplicamos a fórmula componente a componente:
(\vec V\cdot\nabla)V_x = V_x\frac{\partial V_x}{\partial x} + V_y\frac{\partial V_x}{\partial y} = (2xt)(2t) + (2ty)(0) = 4x t^2.
(\vec V\cdot\nabla)V_y = V_x\frac{\partial V_y}{\partial x} + V_y\frac{\partial V_y}{\partial y} = (2xt)(0) + (2ty)(2t) = 4y t^2.
Portanto
(\vec V\cdot\nabla)\vec V = (4x t^2)\,\hat{i} + (4y t^2)\,\hat{j}.

Passo 5

Somamos os dois termos para obter a aceleração total:
\vec a = \frac{\partial \vec V}{\partial t} + (\vec V\cdot\nabla)\vec V = \big(2x + 4x t^2\big)\,\hat{i} + \big(2y + 4y t^2\big)\,\hat{j}.
Factorizando x e y:
\vec a = x(2+4t^2)\,\hat{i} + y(2+4t^2)\,\hat{j}.
Esse é o resultado geral válido para qualquer (x,y,t).

Passo 6

Avaliar em P=(2,2) e t=3\\ \text{s}.
Calcule primeiro t^2 = 3^2 = 9. Então
2 + 4 t^2 = 2 + 4\cdot 9 = 2 + 36 = 38.
Multiplicando por x=2 e y=2:
a_x = 2\cdot 38 = 76, \qquad a_y = 2\cdot 38 = 76.
Unidade: como velocidade estava em \mathrm{m/s} e diferenciamos no tempo, a aceleração está em \mathrm{m/s^2}.

Resposta

\vec{a}(2,2,3) = 76\,\hat{i} + 76\,\hat{j}\\ \mathrm{m/s^2}

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