Para uma argila normalmente adensada, um ensaio de cisalhamento direto lento revelou um ângulo de atrito efetivo de 25^{\circ}. Em um ensaio de compressão triaxial consolidado drenado realizado com a mesma argila, a ruptura ocorreu para uma tensão desviadora de 180 kPa . Qual era a tensão de confinamento deste ensaio? E em que plano o corpo de prova rompeu?

Passo 1

Dados fornecidos:
\varphi' = 25^\circ (ângulo de atrito efetivo da argila, obtido no ensaio de cisalhamento direto).
A ruptura no ensaio triaxial consolidado drenado ocorreu para uma tensão desviadora (deviador) \;q = 180\\ \text{kPa}.
Perguntas que o enunciado faz:
  1. Qual era a tensão de confinamento ( \sigma_3') deste ensaio?
  2. Em que plano o corpo de prova rompeu (orientação do plano de ruptura em relação às tensões principais)?

Passo 2

Entendendo o que relaciona essas quantidades (explicação didática):
  • Num ensaio triaxial compressivo consolidado drenado, as tensões principais efetivas são \sigma_1' (majoritária, eixo do pistão) e \sigma_3' (confinamento lateral). O deviador é \;q=\sigma_1'-\sigma_3'.
  • A resistência ao cisalhamento de um solo drenado é dada pelo critério de Mohr‑Coulomb: \tau = c' + \sigma_n' \tan\varphi'. Para uma argila normalmente adensada costuma-se admitir c'\approx 0 (ou o enunciado, ao não indicar coesão, pressupõe atrito dominante), então \tau = \sigma_n' \tan\varphi'.
  • Geometricamente, no diagrama de Mohr, a circunferência que representa os estados (\sigma_n',\tau) para as direções do volume de prova tangencia a reta \tau=\sigma_n'\tan\varphi' no ponto de ruptura. A condição de tangência leva à relação simples (para c'=0):
\sin\varphi' = \frac{\sigma_1' - \sigma_3'}{\sigma_1' + \sigma_3'}.
Esta fórmula relaciona \varphi' com as tensões principais no ponto de ruptura. Vou usar essa relação porque ela é direta e fácil de aplicar no ensaio triaxial (e é a forma usual ensinada e aplicada em provas).

Passo 3

Expressando a relação em termos do deviador \;q=\sigma_1'-\sigma_3':
Substituímos \sigma_1' = \sigma_3' + q na relação
\sin\varphi' = \frac{\sigma_1' - \sigma_3'}{\sigma_1' + \sigma_3'} = \frac{q}{\sigma_1' + \sigma_3'}.
Como \sigma_1' + \sigma_3' = (\sigma_3' + q) + \sigma_3' = 2\sigma_3' + q, obtemos
\sin\varphi' = \frac{q}{2\sigma_3' + q}.

Passo 4

Isolando \sigma_3' da equação anterior:
2\sigma_3' + q = \frac{q}{\sin\varphi'} \quad\Rightarrow\quad 2\sigma_3' = q\!\left(\frac{1}{\sin\varphi'} - 1\right)
\therefore\quad \sigma_3' = \frac{q}{2}\left(\frac{1}{\sin\varphi'} - 1\right).
Agora substituímos os valores numéricos. Primeiro calculamos \sin\varphi':
\sin 25^\circ \approx 0,4226.
Então
\frac{1}{\sin 25^\circ} \approx \frac{1}{0,4226} \approx 2,3662.
Portanto
\sigma_3' = \frac{180}{2}\left(2,3662 - 1\right) = 90 \times 1,3662 \approx 122,96\\ \text{kPa}.
Arredondando razoavelmente (duas casas significativas), obtemos \sigma_3' \approx 123\\ \text{kPa}.

Passo 5

Para referência, podemos calcular também \sigma_1':
\sigma_1' = \sigma_3' + q \approx 123 + 180 = 303\\ \text{kPa}.
(útil para verificar coerência).

Passo 6

Agora a orientação do plano de ruptura (explicação didática):
  • No diagrama de Mohr existe uma relação entre o ângulo geométrico no círculo e a orientação do plano no corpo de prova: o ângulo no corpo real é a metade do ângulo no diagrama de Mohr.
  • A posição do ponto de tangência (falha) no círculo leva à fórmula clássica para o ângulo \theta entre o plano de ruptura e a direção do eixo de \sigma_1' (direção do maior esforço principal):
\theta = 45^\circ + \frac{\varphi'}{2}.
Essa fórmula é obtida ao analisar que, no Mohr, a linha de falha forma ângulo \varphi' com o eixo das normais e que o ângulo físico é metade do ângulo de Mohr; simplificando: o plano de cisalhamento que atende ao critério fica inclinado 45^\circ+\varphi'/2 em relação à direção de \sigma_1'.

Passo 7

Aplicando numericamente:
\theta = 45^\circ + \frac{25^\circ}{2} = 45^\circ + 12{,}5^\circ = 57{,}5^\circ.
Assim, o corpo de prova rompeu ao longo de um plano que faz um ângulo de aproximadamente 57{,}5^\circ com a direção do maior esforço principal ( \sigma_1'), ou seja, com o eixo axial do ensaio. Em relação à horizontal, esse plano tem ângulo 90^\circ - 57{,}5^\circ = 32{,}5^\circ.

Resposta

\sigma_3' \approx 123\\ \text{kPa}
Plano de ruptura: inclinado 57{,}5^\circ em relação à direção de \sigma_1' (e 32{,}5^\circ em relação à horizontal).

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