O quadro seguinte apresenta os resultados de ensaios de compressão triaxial, na condição adensados drenados, realizados em dois Corpos de Prova (CPs) moldados de uma areia argilosa. Os ensaios foram realizados conforme as prescrições da ASTM D 7181.
\mathbf{C P} Pressão da câmara, \left(\mathrm{kN} / \mathrm{m}^{2}\right) Tensão desviadora, \left(\mathrm{kN} / \mathrm{m}^{2}\right)
I 70 155
II 140 265
A partir destes resultados pede-se:
(a) Calcular os parâmetros de resistência ao cisalhamento do solo;
(b) Quais são as tensões normais e de cisalhamento em um plano inclinado a 33^{\circ} do plano principal maior para o CP I?
(c) Quais são as tensões normais e de cisalhamento no plano de ruptura para o CP II?

Passo 1

O enunciado fornece os resultados de dois ensaios triaxiais adensados drenados (ASTM D 7181) em dois corpos de prova (CP I e CP II). Perguntas:
(a) Calcular os parâmetros de resistência ao cisalhamento do solo (cohesão e ângulo de atrito interno).
(b) Calcular as tensões normal e de cisalhamento num plano inclinado a 33^\circ em relação ao plano do maior esforço principal para o CP I.
(c) Calcular as tensões normal e de cisalhamento no plano de ruptura para o CP II.
Dados fornecidos (extraí da tabela do enunciado):
\begin{array}{lll} \text{CP I:} & \text{pressão da câmara} = \sigma_3 = 70~\text{kN/m}^2, & \text{tensão desviadora } q = 155~\text{kN/m}^2.\\[4pt] \text{CP II:} & \text{pressão da câmara} = \sigma_3 = 140~\text{kN/m}^2, & \text{tensão desviadora } q = 265~\text{kN/m}^2. \end{array}ãâããâã
Observação (apenas listagem de dados): em ensaio triaxial típico q=\sigma_1-\sigma_3. Não resolvo nada ainda — só enumerei o que é dado e o que é pedido.]

Passo 2

Calcular os esforços principais \sigma_1 e \sigma_3 em cada ensaio (pois q=\sigma_1-\sigma_3):
Para o CP I:
\sigma_3 = 70,\qquad q=155 \Rightarrow \sigma_1 = q+\sigma_3 = 155+70=225~\text{kN/m}^2.
Para o CP II:
\sigma_3 = 140,\qquad q=265 \Rightarrow \sigma_1 = q+\sigma_3 = 265+140=405~\text{kN/m}^2.

Passo 3

Explicar a relação usada para obter c e \varphi a partir de dois ensaios triaxiais (tradução geométrica do critério de Mohr–Coulomb):
  • Para cada ensaio, o círculo de Mohr tem centro
C=\frac{\sigma_1+\sigma_3}{2}
e raio
R=\frac{\sigma_1-\sigma_3}{2}.
  • A reta de Mohr–Coulomb (critério) é \tau = c + \sigma_n \tan\varphi. A condição de tangência entre o círculo e essa reta dá a equação (resultado padrão da geometria de Mohr):
R = c\cos\varphi + C\sin\varphi.
Nesta equação:
\,R = raio do círculo de Mohr (kN/m ^2),
\,C = centro do círculo (kN/m ^2),
\,c = coesão (kN/m ^2),
\,\varphi = ângulo de atrito interno (graus, mas nas funções trig usamos radianos ou funções diretamente em graus).
Vou aplicar essa equação a cada ensaio (duas equações, duas incógnitas c e \varphi).

Passo 4

Calcular C\) e \(R\) numéricos para cada CP: Para CP I (usei \(\sigma_1=225\), \(\sigma_3=70\)): \[C_1=\frac{225+70}{2}=147{,}5~\text{kN/m}^2,\qquad R_1=\frac{225-70}{2}=77{,}5~\text{kN/m}^2.
Para CP II (usei \sigma_1=405, \sigma_3=140):
C_2=\frac{405+140}{2}=272{,}5~\text{kN/m}^2,\qquad R_2=\frac{405-140}{2}=132{,}5~\text{kN/m}^2.
Agora escrevo a equação de tangência para cada ensaio:
\begin{cases} R_1 = c\cos\varphi + C_1\sin\varphi,\\[4pt] R_2 = c\cos\varphi + C_2\sin\varphi. \end{cases}
Subtraindo a primeira da segunda para eliminar (c\cos\varphi]:
R_2-R_1=(C_2-C_1)\sin\varphi.
Numericamente:
132{,}5-77{,}5 = (272{,}5-147{,}5)\sin\varphi \Rightarrow 55 = 125\sin\varphi.
Logo
\sin\varphi = \frac{55}{125}=0{,}44.
Assim
\varphi = \arcsin(0{,}44) \approx 26{,}1^\circ.]

Passo 5

Calcular c usando uma das equações (uso a do CP I). Primeiro calculo \cos\varphi:
\cos\varphi = \sqrt{1-\sin^2\varphi} = \sqrt{1-0{,}44^2} = \sqrt{1-0{,}1936}= \sqrt{0{,}8064}\approx 0{,}8980.
Volto à equação R_1 = c\cos\varphi + C_1\sin\varphi:
77{,}5 = c\cdot 0{,}8980 + 147{,}5\cdot 0{,}44.
Calculo do termo conhecido:
147{,}5\cdot 0{,}44 = 64{,}9.
Então
c\cdot 0{,}8980 = 77{,}5 - 64{,}9 = 12{,}6.
Portanto
c = \frac{12{,}6}{0{,}8980} \approx 14{,}0~\text{kN/m}^2.
Conclusão parcial (resumindo parâmetros):
c \approx 14{,}0~\text{kN/m}^2,\qquad \varphi \approx 26{,}1^\circ.

Passo 6

Parte (b): tensões normal e de cisalhamento num plano inclinado a 33^\circ em relação ao plano do maior esforço principal para o CP I.
Explicação das fórmulas de transformação (duas tensões principais \sigma_1,\sigma_3, plano com ângulo \alpha medido a partir do plano do esforço principal maior):
  • Centro C e raio R do círculo de Mohr já calculados:
C_1=147{,}5,\quad R_1=77{,}5.
  • Fórmulas de transformação (resultantes da geometria do círculo de Mohr) para o plano que faz ângulo \alpha com o plano de \sigma_1:
\sigma_n = C + R\cos(2\alpha),
\tau = R\sin(2\alpha),
onde \sigma_n é a tensão normal no plano considerado e \tau é a tensão de cisalhamento nesse plano (módulos positivos aqui).
Aplicando com \alpha=33^\circ (logo 2\alpha=66^\circ):
Calculo os valores trigonométricos:
\cos(66^\circ)\approx 0{,}406737,\qquad \sin(66^\circ)\approx 0{,}913546.
Agora:
\sigma_n = 147{,}5 + 77{,}5\cdot 0{,}406737 \approx 147{,}5 + 31{,}905 \approx 179{,}405~\text{kN/m}^2.
\tau = 77{,}5\cdot 0{,}913546 \approx 70{,}842~\text{kN/m}^2.
Arredondando de forma prática para a prova:
\sigma_n \approx 179{,}4~\text{kN/m}^2,\qquad \tau \approx 70{,}8~\text{kN/m}^2.

Passo 7

Parte (c): tensões no plano de ruptura para o CP II.
Explicação do ângulo do plano de ruptura: para Mohr–Coulomb a ruptura ocorre num plano que, em relação ao plano do maior esforço principal \sigma_1, faz o ângulo
\alpha_{\text{rupt}} = 45^\circ + \frac{\varphi}{2}.
(Esse resultado vem da condição geométrica de tangência entre o círculo de Mohr e a reta de Mohr–Coulomb; é um resultado padrão que dá a orientação do plano de falha.)
Com \varphi \approx 26{,}1^\circ:
\alpha_{\text{rupt}} = 45^\circ + \frac{26{,}1^\circ}{2} = 45^\circ + 13{,}05^\circ \approx 58{,}05^\circ.
Uma simplificação útil: como 2\alpha_{\text{rupt}} = 90^\circ + \varphi, os termos trigonométricos aparecem simplificados:
\cos(2\alpha_{\text{rupt}}) = \cos(90^\circ+\varphi) = -\sin\varphi,
\sin(2\alpha_{\text{rupt}}) = \sin(90^\circ+\varphi) = \cos\varphi.
Assim, para o plano de ruptura as fórmulas ficam:
\sigma_n = C - R\sin\varphi,\qquad \tau = R\cos\varphi.
Usando para CP II (valores calculados antes: C_2=272{,}5, R_2=132{,}5; e \sin\varphi=0{,}44,\\ \cos\varphi\approx0{,}8980):
\sigma_n = 272{,}5 - 132{,}5\cdot 0{,}44 = 272{,}5 - 58{,}3 = 214{,}2~\text{kN/m}^2.
\tau = 132{,}5\cdot 0{,}8980 \approx 119{,}0~\text{kN/m}^2.
Verificação rápida (consistência com Mohr–Coulomb):
c + \sigma_n \tan\varphi \approx 14{,}0 + 214{,}2\times \tan(26{,}1^\circ).
Como \tan\varphi = \dfrac{\sin\varphi}{\cos\varphi}\approx \dfrac{0{,}44}{0{,}8980}\approx 0{,}49, temos
14{,}0 + 214{,}2\times 0{,}49 \approx 14{,}0 + 105{,}0 \approx 119{,}0,
que bate com \tau calculado. Tudo consistente.

Resposta

(a) c \approx 14{,}0~\text{kN/m}^2,\quad \varphi \approx 26{,}1^\circ
(b) \sigma_n \approx 179{,}4~\text{kN/m}^2,\quad \tau \approx 70{,}8~\text{kN/m}^2
(c) \sigma_n \approx 214{,}2~\text{kN/m}^2,\quad \tau \approx 119{,}0~\text{kN/m}^2

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