Um escoamento permanente e uniforme, com altura d’água igual a
, ocorre em um canal retangular de
de largura, com vazão de
, determine:
a) O tipo de escoamento
b) A altura do degrau que pode ser colocado no fundo do canal para produzir escoamento crítico
c) O que acontece a montante e jusante do degrau, se a altura do degrau for maior que o valor calculado anteriormente? E se for menor?
d) Sem a colocação do degrau, qual seria a máxima largura de contração na seção para produzir escoamento crítico?
a) O tipo de escoamento
b) A altura do degrau que pode ser colocado no fundo do canal para produzir escoamento crítico
c) O que acontece a montante e jusante do degrau, se a altura do degrau for maior que o valor calculado anteriormente? E se for menor?
d) Sem a colocação do degrau, qual seria a máxima largura de contração na seção para produzir escoamento crítico?
Passo 1
O enunciado dá um escoamento permanente e uniforme em canal retangular e pede quatro coisas. Dados fornecidos:
Perguntas:
a) Determinar o tipo de escoamento (subcrítico, crítico ou supercrítico).
b) Determinar a altura do degrau que, colocado no fundo do canal, produz escoamento crítico na seção do degrau.
c) Descrever o que acontece a montante e a jusante do degrau se a altura do degrau for maior que o valor calculado em (b) e o que acontece se for menor.
d) Sem colocar o degrau, qual seria a máxima largura da seção contraída (isto é, largura reduzida) capaz de produzir escoamento crítico?
a) Determinar o tipo de escoamento (subcrítico, crítico ou supercrítico).
b) Determinar a altura do degrau que, colocado no fundo do canal, produz escoamento crítico na seção do degrau.
c) Descrever o que acontece a montante e a jusante do degrau se a altura do degrau for maior que o valor calculado em (b) e o que acontece se for menor.
d) Sem colocar o degrau, qual seria a máxima largura da seção contraída (isto é, largura reduzida) capaz de produzir escoamento crítico?
Passo 2
Vamos calcular a área da seção e a velocidade média, porque isso é básico e necessário.
Área da seção para canal retangular:
Área da seção para canal retangular:
Substituindo:
Velocidade média (descendo da continuidade
):
Passo 3
Para classificar o escoamento usamos o número de Froude. Explico a fórmula e o significado:
- O número de Froude
compara a velocidade do escoamento com a velocidade das ondas superficiais; se o escoamento é subcrítico (lento, a informação se propaga rio acima), se é crítico, se é supercrítico (rápido, informação não volta rio acima). - Em canal retangular o comprimento hidráulico (profundidade hidráulica) é
. Então o número de Froude fica:
Tomando
e
:
Como
, o escoamento é subcrítico.
Passo 4
Agora precisamos do conceito de energia específica (especific energy) para determinar o degrau. Vou explicar:
- A energia específica
em um canal (referida ao fundo da seção) é a soma da profundidade mais a energia cinética por unidade de peso associada à velocidade média:
- Para um canal retangular é conveniente usar a vazão por unidade de largura
. Como , podemos escrever:
- Para uma dada
, a energia específica tem um mínimo quando o escoamento é crítico; esse mínimo é a energia específica crítica correspondente à profundidade crítica . Para canal retangular a condição crítica é:
de onde
E a energia específica crítica resulta em
Passo 5
Calculo
(vazão por largura) e a profundidade crítica
.
Calculando numericamente:
Passo 6
Calculo da energia específica crítica
e da energia específica inicial
.
Agora
(energia específica na condição inicial
):
Calcule o termo cinético:
Como
, o denominador é aproximadamente
. Assim
Logo
Passo 7
Derivação do valor do degrau
que torna a seção crítica:
- Se levantamos o fundo localmente por uma altura
, a energia específica referida ao novo fundo diminui em . Em outras palavras, a energia disponível na nova seção é
- Para que a seção do degrau fique exatamente em escoamento crítico precisamos que
. Assim
Substituindo os valores calculados:
Arredondando razoavelmente:
Passo 8
Interpretação física (resposta à parte c). Vou explicar o que ocorre quando o degrau for maior ou menor que esse
:
- Caso
: a energia disponível sobre o degrau é exatamente a energia crítica , portanto a profundidade na seção do degrau será a profundidade crítica . - Caso
: a energia depois do degrau é maior que . Isso significa que existe uma profundidade subcrítica admissível nessa seção (duas raízes para : uma subcrítica maior e uma supercrítica menor, mas como a condição amontante é subcrítica a profundidade que se estabelece será subcrítica e não haverá salto hidráulico. Na prática: não ocorre transição brusca; teremos um ajuste suave (uma curva de retaguarda ou leve aceleração) e o escoamento permanece subcrítico montante e jusante, sem salto hidráulico. - Caso
: a energia disponível fica menor que . Isso significa que não existe profundidade uniforme que satisfaça a conservação de energia sem perda — a situação é fisicamente impossível sem dissipação adicional. O escoamento reagirá formando um salto hidráulico a montante do degrau: a profundidade a montante aumentará (formando uma região de águas mais altas) e haverá perda de energia por turbulência até que a energia remanescente permita que, sobre o degrau, a profundidade seja crítica (ou a jusante fique supercrítico, dependendo da configuração). Em termos simples: um degrau maior que o valor calculado provoca retorno d’água e um salto hidráulico a montante (eleva o nível d’água montante); a jusante pode ficar em escoamento muito rápido (supercrítico) imediatamente após o degrau, até onde eventualmente ocorra um salto hidráulico e se restabeleça escoamento subcrítico.
Passo 9
Parte d) — “Sem a colocação do degrau, qual seria a máxima largura de contração na seção para produzir escoamento crítico?”
Vou interpretar isso como: qual deve ser a largura da seção contraída de modo que, mantendo a mesma profundidade amontante
(ou pensando que queremos produzir escoamento crítico na nova seção com a mesma profundidade de água local), o escoamento nessa seção seja crítico. Técnica e dedução:
Vou interpretar isso como: qual deve ser a largura
- Se desejamos que a profundidade
numa seção seja crítica, a condição é , onde . - Resolvendo para
quando queremos que a profundidade crítica coincida com (isto é, ) teremos:
- Substituindo números:
Interpretação: se a largura da seção for reduzida até cerca de
, então, com a mesma profundidade
, a condição local corresponderia a
(crítico). Se a seção for menos contraída (largura maior que esse valor) a mesma profundidade é subcrítica; se for mais contraída (largura menor) a mesma profundidade seria suficiente para tornar o escoamento supercrítico nessa seção.
Resposta
(a) Escoamento subcrítico,
.
(b) Altura do degrau .
(c) Se : a energia disponível fica abaixo da crítica e forma-se um salto hidráulico a montante (elevação do nível amontante e dissipaçãode energia) para permitir passagem; a jusante pode ficar supercrítico imediatamente após o degrau.
Se : o escoamento permanece subcrítico (ajuste suave da cota), sem salto hidráulico.
(d) Largura da seção contraída para produzir escoamento crítico (mantendo ):
.
(b) Altura do degrau
(c) Se
Se
(d) Largura da seção contraída para produzir escoamento crítico (mantendo