Um escoamento permanente e uniforme, com altura d’água igual a 1,45 \mathrm{~m}, ocorre em um canal retangular de 3,2 \mathrm{~m} de largura, com vazão de 8,30 \mathrm{~m} 3 / \mathrm{s}, determine:
a) O tipo de escoamento
b) A altura do degrau que pode ser colocado no fundo do canal para produzir escoamento crítico
c) O que acontece a montante e jusante do degrau, se a altura do degrau for maior que o valor calculado anteriormente? E se for menor?
d) Sem a colocação do degrau, qual seria a máxima largura de contração na seção para produzir escoamento crítico?

Passo 1

O enunciado dá um escoamento permanente e uniforme em canal retangular e pede quatro coisas. Dados fornecidos:
\text{altura (profundidade) } y_1 = 1{,}45\\ \mathrm{m},
\text{largura do canal } b_1 = 3{,}20\\ \mathrm{m},
\text{vazão } Q = 8{,}30\\ \mathrm{m^3/s}.ã
Perguntas:
a) Determinar o tipo de escoamento (subcrítico, crítico ou supercrítico).
b) Determinar a altura do degrau que, colocado no fundo do canal, produz escoamento crítico na seção do degrau.
c) Descrever o que acontece a montante e a jusante do degrau se a altura do degrau for maior que o valor calculado em (b) e o que acontece se for menor.
d) Sem colocar o degrau, qual seria a máxima largura da seção contraída (isto é, largura reduzida) capaz de produzir escoamento crítico?

Passo 2

Vamos calcular a área da seção e a velocidade média, porque isso é básico e necessário.
Área da seção para canal retangular:
A = b_1 \, y_1.
Substituindo:
A = 3{,}20 \cdot 1{,}45 = 4{,}64\\ \mathrm{m^2}.
Velocidade média (descendo da continuidade Q = A V):
V = \frac{Q}{A} = \frac{8{,}30}{4{,}64}\\ \mathrm{m/s} \approx 1{,}7888\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Para classificar o escoamento usamos o número de Froude. Explico a fórmula e o significado:
  • O número de Froude \,F compara a velocidade do escoamento com a velocidade das ondas superficiais; se F<1 o escoamento é subcrítico (lento, a informação se propaga rio acima), se F=1 é crítico, se F>1 é supercrítico (rápido, informação não volta rio acima).
  • Em canal retangular o comprimento hidráulico (profundidade hidráulica) é \,D = \dfrac{A}{T} = \dfrac{A}{b} = y. Então o número de Froude fica:
F = \frac{V}{\sqrt{g\,y}}.
Tomando g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2} e y=y_1:
\sqrt{g\,y_1}=\sqrt{9{,}81\cdot 1{,}45}\approx 3{,}772\\ \mathrm{m/s},
F=\frac{1{,}7888}{3{,}772}\approx 0{,}474.
Como F\approx 0{,}474<1, o escoamento é subcrítico.

Passo 4

Agora precisamos do conceito de energia específica (especific energy) para determinar o degrau. Vou explicar:
  • A energia específica E em um canal (referida ao fundo da seção) é a soma da profundidade mais a energia cinética por unidade de peso associada à velocidade média:
E = y + \frac{V^2}{2g}.
  • Para um canal retangular é conveniente usar a vazão por unidade de largura q=\dfrac{Q}{b}. Como V=q/y, podemos escrever:
E(y) = y + \frac{q^2}{2g\,y^2}.
  • Para uma dada q, a energia específica tem um mínimo quando o escoamento é crítico; esse mínimo é a energia específica crítica E_c correspondente à profundidade crítica y_c. Para canal retangular a condição crítica é:
q^2 = g\,y_c^3,
de onde
y_c = \left(\frac{q^2}{g}\right)^{1/3}.
E a energia específica crítica resulta em
E_c = \frac{3}{2}\,y_c.

Passo 5

Calculo q (vazão por largura) e a profundidade crítica y_c.
q=\frac{Q}{b_1}=\frac{8{,}30}{3{,}20}=2{,}59375\\ \mathrm{m^2/s}.
y_c=\left(\frac{q^2}{g}\right)^{1/3} =\left(\frac{2{,}59375^2}{9{,}81}\right)^{1/3}.
Calculando numericamente:
2{,}59375^2=6{,}7294921875,\qquad \frac{6{,}729492}{9{,}81}\approx 0{,}68592,
y_c\approx 0{,}883\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Calculo da energia específica crítica E_c e da energia específica inicial E_1.
E_c=\frac{3}{2}\,y_c \approx \frac{3}{2}\cdot 0{,}883 \approx 1{,}325\\ \mathrm{m}.
Agora E_1 (energia específica na condição inicial y_1):
E_1 = y_1 + \frac{q^2}{2g\,y_1^2}.
Calcule o termo cinético:
\frac{q^2}{2g\,y_1^2}=\frac{6{,}729492}{2\cdot 9{,}81\cdot 1{,}45^2}.
Como 1{,}45^2=2{,}1025, o denominador é aproximadamente 2\cdot 9{,}81\cdot 2{,}1025\approx 41{,}25. Assim
\frac{q^2}{2g\,y_1^2}\approx \frac{6{,}729492}{41{,}25}\approx 0{,}1631\\ \mathrm{m}.
Logo
E_1 \approx 1{,}45 + 0{,}1631 = 1{,}6131\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Derivação do valor do degrau h que torna a seção crítica:
  • Se levantamos o fundo localmente por uma altura h, a energia específica referida ao novo fundo diminui em h. Em outras palavras, a energia disponível na nova seção é
E' = E_1 - h.
  • Para que a seção do degrau fique exatamente em escoamento crítico precisamos que E' = E_c. Assim
h = E_1 - E_c.
Substituindo os valores calculados:
h \approx 1{,}6131 - 1{,}325 = 0{,}2881\\ \mathrm{m}.
Arredondando razoavelmente:
h \approx 0{,}289\\ \mathrm{m}.

Passo 8

Interpretação física (resposta à parte c). Vou explicar o que ocorre quando o degrau for maior ou menor que esse h:
  • Caso h = 0{,}289\\ \mathrm{m}: a energia disponível sobre o degrau é exatamente a energia crítica E_c, portanto a profundidade na seção do degrau será a profundidade crítica y_c\approx 0{,}883\\ \mathrm{m}.
  • Caso h < 0{,}289\\ \mathrm{m}: a energia depois do degrau E' = E_1 - h é maior que E_c. Isso significa que existe uma profundidade subcrítica admissível nessa seção (duas raízes para E(y)=E': uma subcrítica maior e uma supercrítica menor, mas como a condição amontante é subcrítica a profundidade que se estabelece será subcrítica e não haverá salto hidráulico. Na prática: não ocorre transição brusca; teremos um ajuste suave (uma curva de retaguarda ou leve aceleração) e o escoamento permanece subcrítico montante e jusante, sem salto hidráulico.
  • Caso h > 0{,}289\\ \mathrm{m}: a energia disponível E' = E_1 - h fica menor que E_c. Isso significa que não existe profundidade uniforme que satisfaça a conservação de energia sem perda — a situação é fisicamente impossível sem dissipação adicional. O escoamento reagirá formando um salto hidráulico a montante do degrau: a profundidade a montante aumentará (formando uma região de águas mais altas) e haverá perda de energia por turbulência até que a energia remanescente permita que, sobre o degrau, a profundidade seja crítica (ou a jusante fique supercrítico, dependendo da configuração). Em termos simples: um degrau maior que o valor calculado provoca retorno d’água e um salto hidráulico a montante (eleva o nível d’água montante); a jusante pode ficar em escoamento muito rápido (supercrítico) imediatamente após o degrau, até onde eventualmente ocorra um salto hidráulico e se restabeleça escoamento subcrítico.

Passo 9

Parte d) — “Sem a colocação do degrau, qual seria a máxima largura de contração na seção para produzir escoamento crítico?”
Vou interpretar isso como: qual deve ser a largura b_c da seção contraída de modo que, mantendo a mesma profundidade amontante y_1 (ou pensando que queremos produzir escoamento crítico na nova seção com a mesma profundidade de água local), o escoamento nessa seção seja crítico. Técnica e dedução:
  • Se desejamos que a profundidade y numa seção seja crítica, a condição é q^2 = g y^3, onde q=Q/b.
  • Resolvendo para b quando queremos que a profundidade crítica coincida com y_1 (isto é, y_c=y_1) teremos:
\left(\frac{Q}{b_c}\right)^2 = g\,y_1^3 \quad\Rightarrow\quad b_c = \frac{Q}{\sqrt{g\,y_1^3}}.
  • Substituindo números:
g\,y_1^3 = 9{,}81\cdot 1{,}45^3 \approx 9{,}81\cdot 3{,}048625 \approx 29{,}92,
\sqrt{g\,y_1^3}\approx 5{,}469,
b_c = \frac{8{,}30}{5{,}469}\approx 1{,}518\\ \mathrm{m}.
Interpretação: se a largura da seção for reduzida até cerca de 1{,}52\\ \mathrm{m}, então, com a mesma profundidade 1{,}45\\ \mathrm{m}, a condição local corresponderia a F=1 (crítico). Se a seção for menos contraída (largura maior que esse valor) a mesma profundidade é subcrítica; se for mais contraída (largura menor) a mesma profundidade seria suficiente para tornar o escoamento supercrítico nessa seção.

Resposta

(a) Escoamento subcrítico, F\approx 0{,}474.
(b) Altura do degrau h\approx 0{,}289\\ \mathrm{m}.
(c) Se h>0{,}289\\ \mathrm{m}: a energia disponível fica abaixo da crítica e forma-se um salto hidráulico a montante (elevação do nível amontante e dissipaçãode energia) para permitir passagem; a jusante pode ficar supercrítico imediatamente após o degrau.
Se h<0{,}289\\ \mathrm{m}: o escoamento permanece subcrítico (ajuste suave da cota), sem salto hidráulico.
(d) Largura da seção contraída para produzir escoamento crítico (mantendo y=1{,}45\\ \mathrm{m}): b_c\approx 1{,}52\\ \mathrm{m}.

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