Use integração por partes para encontrar a transformada de Laplace da função dada;
é um inteiro positivo e
é uma constante real.
Passo 1
O problema pede para encontrar a transformada de Laplace da função
onde
e
. Não são fornecidas outras informações sobre
, então assumimos o domínio usual
para a transformada de Laplace.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
Pergunta explícita: calcular
usando integração por partes.
Passo 2
Definição da transformada de Laplace e simplificação inicial.
Pela definição,
Pela definição,
Para simplificar a notação, defina
Assim a integral que precisamos calcular fica
Comentário sobre convergência: a integral impropria converge se
, isto é, se
. Vou assumir essa condição enquanto faço as contas — no final explico que ela é necessária para que os termos de contorno desapareçam.
Passo 3
Lembrete e explicação da fórmula de integração por partes.
A fórmula de integração por partes é
A fórmula de integração por partes é
onde
é uma função diferenciável e
é outra parte do integrando cujo primitivo
é conhecido. Aqui usamos integração por partes para transformar a integral de
em algo envolvendo
, e depois faremos uma segunda integração por partes para voltar a ter
, obtendo uma equação que podemos resolver.
Passo 4
Primeira aplicação de integração por partes a
. Escolhemos
Então
onde usamos
para garantir que o primitivo é bem comportado. Aplicando a fórmula,
Calcule o termo de contorno:
Como
temos
quando
, e
. Logo
O segundo termo é
Se definirmos
obtemos a relação
Passo 5
Segunda aplicação de integração por partes para
. Escolhemos
Então
Aplicando integração por partes,
O termo de contorno é
pois
e
. O restante dá
Passo 6
Resolver o sistema para
. Substitua
na relação obtida no Passo 4:
Isolando
,
Passo 7
Voltar à variável
. Lembremos que
. Portanto
válido para
, condição necessária para convergência da integral original.