Use integração por partes para encontrar a transformada de Laplace da função dada; n é um inteiro positivo e a é uma constante real.
f(t)=e^{a t} \cos (b t)

Passo 1

O problema pede para encontrar a transformada de Laplace da função
f(t)=e^{a t}\cos(bt),
onde \;a\in\mathbb{R}\; e \;b\in\mathbb{R}\;. Não são fornecidas outras informações sobre \;t\;, então assumimos o domínio usual [0,\infty) para a transformada de Laplace.
Informações relevantes dadas:
f(t)=e^{a t}\cos(bt).
Pergunta explícita: calcular \displaystyle \mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} f(t)\,dt usando integração por partes.

Passo 2

Definição da transformada de Laplace e simplificação inicial.
Pela definição,
\mathcal{L}\{e^{a t}\cos(bt)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} e^{a t}\cos(bt)\,dt=\int_{0}^{\infty} e^{-(s-a)t}\cos(bt)\,dt.
Para simplificar a notação, defina
\alpha:=s-a.
Assim a integral que precisamos calcular fica
I:=\int_{0}^{\infty} e^{-\alpha t}\cos(bt)\,dt.
Comentário sobre convergência: a integral impropria converge se \operatorname{Re}(\alpha)>0, isto é, se \operatorname{Re}(s)>a. Vou assumir essa condição enquanto faço as contas — no final explico que ela é necessária para que os termos de contorno desapareçam.

Passo 3

Lembrete e explicação da fórmula de integração por partes.
A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
onde u=u(t) é uma função diferenciável e dv é outra parte do integrando cujo primitivo v é conhecido. Aqui usamos integração por partes para transformar a integral de \cos em algo envolvendo \sin, e depois faremos uma segunda integração por partes para voltar a ter \cos, obtendo uma equação que podemos resolver.

Passo 4

Primeira aplicação de integração por partes a I. Escolhemos
u=\cos(bt),\qquad dv=e^{-\alpha t}\,dt.
Então
du=-b\sin(bt)\,dt,\qquad v=\int e^{-\alpha t}\,dt=-\frac{1}{\alpha}e^{-\alpha t},
onde usamos \operatorname{Re}(\alpha)>0 para garantir que o primitivo é bem comportado. Aplicando a fórmula,
I=\left[uv\right]_{0}^{\infty}-\int_{0}^{\infty} v\,du.
Calcule o termo de contorno:
\left[uv\right]_{0}^{\infty}=\lim_{T\to\infty}\left(-\frac{1}{\alpha}e^{-\alpha T}\cos(bT)\right)-\left(-\frac{1}{\alpha}e^{0}\cos(0)\right).
Como \operatorname{Re}(\alpha)>0 temos e^{-\alpha T}\to 0 quando T\to\infty, e \cos(0)=1. Logo
\left[uv\right]_{0}^{\infty}=0- \left(-\frac{1}{\alpha}\right)=\frac{1}{\alpha}.
O segundo termo é
-\int_{0}^{\infty} v\,du=-\int_{0}^{\infty}\left(-\frac{1}{\alpha}e^{-\alpha t}\right)\left(-b\sin(bt)\right)dt=-\frac{b}{\alpha}\int_{0}^{\infty} e^{-\alpha t}\sin(bt)\,dt.
Se definirmos
J:=\int_{0}^{\infty} e^{-\alpha t}\sin(bt)\,dt,
obtemos a relação
I=\frac{1}{\alpha}-\frac{b}{\alpha}J.

Passo 5

Segunda aplicação de integração por partes para J. Escolhemos
u=\sin(bt),\qquad dv=e^{-\alpha t}\,dt.
Então
du=b\cos(bt)\,dt,\qquad v=-\frac{1}{\alpha}e^{-\alpha t}.
Aplicando integração por partes,
J=\left[uv\right]_{0}^{\infty}-\int_{0}^{\infty} v\,du.
O termo de contorno é
\left[uv\right]_{0}^{\infty}=\lim_{T\to\infty}\left(-\frac{1}{\alpha}e^{-\alpha T}\sin(bT)\right)-\left(-\frac{1}{\alpha}e^{0}\sin(0)\right)=0-0=0,
pois \sin(0)=0 e e^{-\alpha T}\to 0. O restante dá
J=-\int_{0}^{\infty}\left(-\frac{1}{\alpha}e^{-\alpha t}\right) b\cos(bt)\,dt=\frac{b}{\alpha}\int_{0}^{\infty} e^{-\alpha t}\cos(bt)\,dt=\frac{b}{\alpha}I.

Passo 6

Resolver o sistema para I. Substitua J=\dfrac{b}{\alpha}I na relação obtida no Passo 4:
I=\frac{1}{\alpha}-\frac{b}{\alpha}\left(\frac{b}{\alpha}I\right)=\frac{1}{\alpha}-\frac{b^{2}}{\alpha^{2}}I.
Isolando I,
I+\frac{b^{2}}{\alpha^{2}}I=\frac{1}{\alpha}
I\left(1+\frac{b^{2}}{\alpha^{2}}\right)=\frac{1}{\alpha}
I\left(\frac{\alpha^{2}+b^{2}}{\alpha^{2}}\right)=\frac{1}{\alpha}
I=\frac{1}{\alpha}\cdot\frac{\alpha^{2}}{\alpha^{2}+b^{2}}=\frac{\alpha}{\alpha^{2}+b^{2}}.

Passo 7

Voltar à variável s. Lembremos que \alpha=s-a. Portanto
\mathcal{L}\{e^{a t}\cos(bt)\}(s)=I=\frac{s-a}{(s-a)^{2}+b^{2}},
válido para \operatorname{Re}(s)>a, condição necessária para convergência da integral original.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{e^{a t}\cos(bt)\}(s)=\frac{s-a}{(s-a)^{2}+b^{2}} (para \operatorname{Re}(s)>a).

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