Um canal trapezoidal de 2,5 \mathrm{~m} de largura de fundo tem altura de água de 1,0 \mathrm{~m}, taludes 2,5 \mathrm{H}: 1 \mathrm{~V}, declividade de fundo de 0,001 \mathrm{~m} / \mathrm{m} e é revestido no fundo e taludes com alvenaria de pedra argamassada em condições regulares, n=0,025. Necessita-se aumentar a capacidade de vazão deste canal, ao máximo possível, sem mudar o revestimento, a declividade de fundo, podendo ser alteradas as dimensões da seção transversal e a inclinação dos taludes, sem, entretanto, alterar a forma trapezoidal e a quantidade de escavação. Determine:
a) A vazão transportada pela seção original.
b) Apresente uma solução para as novas dimensões do canal, para transportar a máxima vazão possível, atendendo as condições impostas. Qual o acréscimo da vazão?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Calcular a vazão transportada pela seção original.
  2. Propor novas dimensões (mantendo a forma trapezoidal, a declividade de fundo e o revestimento, e sem alterar a quantidade de escavação) que permitam a máxima vazão possível e indicar o acréscimo de vazão.
Dados fornecidos (vou listá‑los todos):
\begin{aligned} &\text{largura de fundo: }\; b_0 = 2{,}5\\ \mathrm{m},\\\ &\text{altura de água: }\; y_0 = 1{,}0\\ \mathrm{m},\\\ &\text{talude original: }\; 2{,}5\\ \mathrm{H}:1\\ \mathrm{V} \Rightarrow m_0 = 2{,}5\\ (\text{onde } m=\text{projeção horizontal por 1 de vertical}),\\\ &\text{declividade de fundo: }\; S = 0{,}001,\\\ &\text{n (Manning) para revestimento em condições regulares: }\; n = 0{,}025. \end{aligned}áçãçõ
Condição importante imposta: não se pode alterar a quantidade de escavação — isto significa que a área da seção transversal escavada por unidade de comprimento deve permanecer constante. Portanto a nova seção trapezoidal deve ter a mesma área transversal A da seção original.
Vou usar o sistema usual de coordenadas e fórmulas de canal trapezoidal para resolver.

Passo 2

Relembrando a fórmula de Manning (a que usaremos para calcular vazão):
Q = \frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S^{1/2},
onde
  • Q é a vazão ( \mathrm{m^3/s});
  • n é o coeficiente de rugosidade de Manning (adimensional);
  • A é a área molhada da seção transversal ( \mathrm{m^2});
  • R é o raio hidráulico ( \mathrm{m}), definido por R = \dfrac{A}{P} sendo P o perímetro molhado ( \mathrm{m});
  • S é a declividade do fundo (adimensional).
Para um canal trapezoidal simétrico com talude m (horizontal por vertical), largura de fundo b e profundidade de água y:
  • área:
A = b\,y + m\,y^{2};
  • perímetro molhado:
P = b + 2\,y\,\sqrt{1+m^{2}}.
Observação chave (estratégia de otimização): como n e S são fixos e a área total de escavação A é condicionada a permanecer constante (pela restrição dada), a vazão Q será máxima quando o raio hidráulico R = A/P for máximo — isto equivale a minimizar o perímetro molhado P para uma dada área A. Então o problema de otimização reduz‑se a: para A fixo, escolher b,y,m (com a forma trapezoidal) que minimizem P.

Passo 3

Primeiro calculamos a seção original (dados numéricos da seção inicial).
Cálculo da área original:
A_0 = b_0\,y_0 + m_0\,y_0^{2} = 2{,}5\cdot 1{,}0 + 2{,}5\cdot 1{,}0^{2} = 2{,}5 + 2{,}5 = 5{,}0\\ \mathrm{m^2}.
Cálculo do perímetro molhado original:
\sqrt{1+m_0^{2}} = \sqrt{1 + (2{,}5)^{2}} = \sqrt{7{,}25} \approx 2{,}6925824,
P_0 = b_0 + 2\,y_0\,\sqrt{1+m_0^{2}} = 2{,}5 + 2\cdot 1{,}0\cdot 2{,}6925824 \approx 7{,}8851648\\ \mathrm{m}.
Cálculo do raio hidráulico original:
R_0 = \frac{A_0}{P_0} \approx \frac{5{,}0}{7{,}8851648} \approx 0{,}63398\\ \mathrm{m}.
Agora aplicamos a fórmula de Manning para obter Q_0:
Q_0 = \frac{1}{n}\,A_0\,R_0^{2/3}\,S^{1/2}.
Substituindo numericamente ( 1/n = 1/0{,}025 = 40 e \sqrt{S}=\sqrt{0{,}001}=0{,}0316227766):
Q_0 \approx 40\cdot 5{,}0 \cdot (0{,}63398)^{2/3} \cdot 0{,}0316227766 \approx 4{,}67\\ \mathrm{m^{3}/s}.

Passo 4

Agora resolvemos o problema de otimização para aumentar a vazão ao máximo, respeitando as restrições: A fixo (igual a A_0=5{,}0\\ \mathrm{m^2}), forma trapezoidal simétrica, variando b,y,m.
Escrevemos b em função de A,y,m a partir de A = b\,y + m\,y^2:
b = \frac{A - m\,y^{2}}{y} = \frac{A}{y} - m\,y.
Substituímos isso no perímetro molhado:
P(y,m) = b + 2y\sqrt{1+m^{2}} = \frac{A}{y} - m\,y + 2y\sqrt{1+m^{2}}.
Queremos minimizar P(y,m) em y>0, m\ge 0.
Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero (condição de ótimo interior).
Derivada parcial em relação a m:
\frac{\partial P}{\partial m} = -y + 2y\cdot\frac{m}{\sqrt{1+m^{2}}}.
Igualando a zero:
-y + 2y\frac{m}{\sqrt{1+m^{2}}}=0 \quad\Rightarrow\quad -1 + \frac{2m}{\sqrt{1+m^{2}}} = 0.
Isto dá
\frac{2m}{\sqrt{1+m^{2}}} = 1 \quad\Rightarrow\quad 4m^{2} = 1 + m^{2} \quad\Rightarrow\quad 3m^{2} = 1.
Logo
m = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0{,}577350269.
Derivada parcial em relação a y:
\frac{\partial P}{\partial y} = -\frac{A}{y^{2}} - m + 2\sqrt{1+m^{2}}.
Igualando a zero e substituindo o valor ótimo de m:
-\frac{A}{y^{2}} - m + 2\sqrt{1+m^{2}} = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{A}{y^{2}} = 2\sqrt{1+m^{2}} - m.
Para m = 1/\sqrt{3} temos \sqrt{1+m^{2}} = \sqrt{1 + 1/3} = \sqrt{4/3} = \dfrac{2}{\sqrt{3}}. Então
2\sqrt{1+m^{2}} - m = 2\cdot\frac{2}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}.
Portanto
\frac{A}{y^{2}} = \sqrt{3} \quad\Rightarrow\quad y^{2} = \frac{A}{\sqrt{3}} \quad\Rightarrow\quad y = \sqrt{\frac{A}{\sqrt{3}}}.
Como A = 5{,}0\\ \mathrm{m^2}, obtemos o valor ótimo de y:
y_{\text{opt}} = \sqrt{\frac{5{,}0}{\sqrt{3}}} \approx 1{,}69928\\ \mathrm{m}.
Com esse y_{\text{opt}} e m_{\text{opt}}=1/\sqrt{3}, obtemos b_{\text{opt}} via b = \dfrac{A}{y} - m\,y:
b_{\text{opt}} = \frac{5{,}0}{1{,}69928} - \frac{1}{\sqrt{3}}\cdot 1{,}69928 \approx 1{,}962\\ \mathrm{m}.
Verificamos o perímetro molhado e o raio hidráulico ótimos:
\sqrt{1+m_{\text{opt}}^{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1{,}1547005,
P_{\text{opt}} = b_{\text{opt}} + 2\,y_{\text{opt}}\,\sqrt{1+m_{\text{opt}}^{2}} \approx 1{,}962 + 2\cdot1{,}69928\cdot1{,}1547005 \approx 5{,}887\\ \mathrm{m},
R_{\text{opt}} = \frac{A}{P_{\text{opt}}} \approx \frac{5{,}0}{5{,}887} \approx 0{,}8493\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Agora calculamos a vazão máxima correspondente à geometria ótima usando Manning:
Q_{\text{opt}} = \frac{1}{n}\,A\,R_{\text{opt}}^{2/3}\,S^{1/2}.
Substituindo numericamente (novamente 1/n=40 e \sqrt{S}=0{,}0316227766):
Q_{\text{opt}} \approx 40\cdot 5{,}0\cdot(0{,}8493)^{2/3}\cdot 0{,}0316227766 \approx 5{,}67\\ \mathrm{m^{3}/s}.
Cálculo do acréscimo de vazão:
\Delta Q = Q_{\text{opt}} - Q_{0} \approx 5{,}67 - 4{,}67 \approx 1{,}01\\ \mathrm{m^{3}/s}.
Percentual de aumento:
\frac{\Delta Q}{Q_{0}}\times 100\% \approx \frac{1{,}01}{4{,}67}\times 100\% \approx 21{,}6\%.

Passo 6

Interpretação prática e resumo da solução proposta (o que exatamente deve ser alterado no canal):
  • Manter a área de escavação A=5{,}0\\ \mathrm{m^2} e a declividade S=0{,}001 e o revestimento n=0{,}025.
  • Alterar a forma trapezoidal para taludes mais inclinados (horizontal menor por vertical maior) até o valor ótimo: m_{\text{opt}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0{,}577\\ (\text{ou talude }0{,}577\\ \mathrm{H}:1\\ \mathrm{V}),com profundidade de projeto de água y_{\text{opt}} \approx 1{,}699\\ \mathrm{m},e largura de fundo b_{\text{opt}} \approx 1{,}962\\ \mathrm{m}.
  • Essas dimensões mantêm A=5{,}0\\ \mathrm{m^2} (portanto a escavação por metro linear não muda) e proporcionam o menor perímetro molhado e, consequentemente, a maior vazão possível sob as condições impostas.

Resposta

a) Q_0 \approx 4{,}67\\ \mathrm{m^{3}/s}
b) Novas dimensões propostas: b \approx 1{,}962\\ \mathrm{m}, y \approx 1{,}699\\ \mathrm{m}, talude m = 1/\sqrt{3}\approx 0{,}577 (topo T=b+2my\approx 3{,}925\\ \mathrm{m}). Vazão máxima Q_{\text{opt}} \approx 5{,}67\\ \mathrm{m^{3}/s}. Acréscimo de vazão \Delta Q \approx 1{,}01\\ \mathrm{m^{3}/s} (≈ 21{,}6\%).

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