Um canal trapezoidal de
de largura de fundo tem altura de água de
, taludes
, declividade de fundo de
e é revestido no fundo e taludes com alvenaria de pedra argamassada em condições regulares,
. Necessita-se aumentar a capacidade de vazão deste canal, ao máximo possível, sem mudar o revestimento, a declividade de fundo, podendo ser alteradas as dimensões da seção transversal e a inclinação dos taludes, sem, entretanto, alterar a forma trapezoidal e a quantidade de escavação. Determine:
a) A vazão transportada pela seção original.
b) Apresente uma solução para as novas dimensões do canal, para transportar a máxima vazão possível, atendendo as condições impostas. Qual o acréscimo da vazão?
a) A vazão transportada pela seção original.
b) Apresente uma solução para as novas dimensões do canal, para transportar a máxima vazão possível, atendendo as condições impostas. Qual o acréscimo da vazão?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Calcular a vazão transportada pela seção original.
- Propor novas dimensões (mantendo a forma trapezoidal, a declividade de fundo e o revestimento, e sem alterar a quantidade de escavação) que permitam a máxima vazão possível e indicar o acréscimo de vazão.
Dados fornecidos (vou listá‑los todos):
Condição importante imposta: não se pode alterar a quantidade de escavação — isto significa que a área da seção transversal escavada por unidade de comprimento deve permanecer constante. Portanto a nova seção trapezoidal deve ter a mesma área transversal
da seção original.
Vou usar o sistema usual de coordenadas e fórmulas de canal trapezoidal para resolver.
Vou usar o sistema usual de coordenadas e fórmulas de canal trapezoidal para resolver.
Passo 2
Relembrando a fórmula de Manning (a que usaremos para calcular vazão):
onde
-
é a vazão ( ); -
é o coeficiente de rugosidade de Manning (adimensional); -
é a área molhada da seção transversal ( ); -
é o raio hidráulico ( ), definido por sendo o perímetro molhado ( ); -
é a declividade do fundo (adimensional).
Para um canal trapezoidal simétrico com talude
(horizontal por vertical), largura de fundo
e profundidade de água
:
- área:
- perímetro molhado:
Observação chave (estratégia de otimização): como
e
são fixos e a área total de escavação
é condicionada a permanecer constante (pela restrição dada), a vazão
será máxima quando o raio hidráulico
for máximo — isto equivale a minimizar o perímetro molhado
para uma dada área
. Então o problema de otimização reduz‑se a: para
fixo, escolher
(com a forma trapezoidal) que minimizem
.
Passo 3
Primeiro calculamos a seção original (dados numéricos da seção inicial).
Cálculo da área original:
Cálculo do perímetro molhado original:
Cálculo do raio hidráulico original:
Agora aplicamos a fórmula de Manning para obter
:
Substituindo numericamente (
e
):
Passo 4
Agora resolvemos o problema de otimização para aumentar a vazão ao máximo, respeitando as restrições:
fixo (igual a
), forma trapezoidal simétrica, variando
.
Escrevemos
em função de
a partir de
:
Substituímos isso no perímetro molhado:
Queremos minimizar
em
.
Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero (condição de ótimo interior).
Derivada parcial em relação a
:
Igualando a zero:
Isto dá
Logo
Derivada parcial em relação a
:
Igualando a zero e substituindo o valor ótimo de
:
Para
temos
. Então
Portanto
Como
, obtemos o valor ótimo de
:
Com esse
e
, obtemos
via
:
Verificamos o perímetro molhado e o raio hidráulico ótimos:
Passo 5
Agora calculamos a vazão máxima correspondente à geometria ótima usando Manning:
Substituindo numericamente (novamente
e
):
Cálculo do acréscimo de vazão:
Percentual de aumento:
Passo 6
Interpretação prática e resumo da solução proposta (o que exatamente deve ser alterado no canal):
- Manter a área de escavação
e a declividade e o revestimento . - Alterar a forma trapezoidal para taludes mais inclinados (horizontal menor por vertical maior) até o valor ótimo:
com profundidade de projeto de água e largura de fundo - Essas dimensões mantêm
(portanto a escavação por metro linear não muda) e proporcionam o menor perímetro molhado e, consequentemente, a maior vazão possível sob as condições impostas.
Resposta
a)
b) Novas dimensões propostas:
,
, talude
(topo
). Vazão máxima
. Acréscimo de vazão
(≈
).