Um escoamento é representado pelo campo de velocidade V=10 x i-10 y jmath+30 k. Determine se o campo é (a) um possível escoamento incompressível e (b) irrotacional.

Passo 1

O enunciado nos dá o campo de velocidade
V = 10,x,imath - 10,y,jmath + 30,k
e pede para verificar duas propriedades de escoamentos:
– Incompressibilidade, que exige que a divergência seja zero;
– Irrotacionalidade, que exige que o rotacional seja nulo.

Passo 2

Para testar incompressibilidade calculamos a divergência
nabla cdot V = partialpartial x(10x) + partialpartial y(-10y) + partialpartial z(30)
Agora avaliamos cada termo:
partialpartial x(10x)=10, partialpartial y(-10y)=-10, partialpartial z(30)=0
Logo
nabla cdot V = 10 - 10 + 0 = 0,
o que confirma que o escoamento é incompressível.

Passo 3

Para testar irrotacionalidade calculamos o rotacional
nabla times V = imath & jmath & k [6pt] partialpartial x & partialpartial y & partialpartial z [3pt] 10x & -10y & 30
Isso dá, componente a componente,
(nabla times V)x = partialpartial y(30) - partialpartial z(-10y) = 0 - 0 = 0,
(nabla times V)y = partialpartial z(10x) - partialpartial x(30) = 0 - 0 = 0,
(nabla times V)z = partialpartial x(-10y) - partialpartial y(10x) = 0 - 0 = 0
Portanto
nabla times V = 0,
e o escoamento é irrotacional.]

Resposta

(a) Sim, o escoamento é incompressível.
(b) Sim, o escoamento é irrotacional.

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