6.18 As próximas equaçōes foram propostas para representar um escoamento bidimensional e incompressível:
onde
e
são constantes positivas. (a) Estas equações satisfazem a conservação da massa? (b) Este escoamento é irrotacional? (c) Determine a equação das linhas de corrente e faça um esboço das linhas que passam pela origem. Indique o sentido do escoamento nestas linhas de corrente.
Passo 1
O enunciado dá um escoamento bidimensional incompressível com
onde
e
são constantes positivas. Precisamos usar:
– a equação da conservação de massa para fluxos incompressíveis ( ),
– a definição de vorticidade em D (
),
– e a definição de linhas de corrente (streamlines) via .
– a equação da conservação de massa para fluxos incompressíveis (
– a definição de vorticidade em
– e a definição de linhas de corrente (streamlines) via
Passo 2
Conservação de massa exige
Aqui
e
,
logo
.
Portanto o escoamento satisfaz a conservação da massa.
e
logo
Portanto o escoamento satisfaz a conservação da massa.
Passo 3
A vorticidade em
D é
Calculando,
e
,
logo
.
Isso só é zero se e somente se . Em geral, para
, o escoamento é rotacional; é irrotacional apenas no caso especial
.
e
logo
Isso só é zero se e somente se
Passo 4
As linhas de corrente satisfazem
Integramos essa equação:
Integramos essa equação:
que pode ser reescrito como
Passo 5
Para as linhas que passam pela origem basta
. Assim
ou seja
Passo 6
Sentido do escoamento nessas retas:
– Na reta (primeiro quadrante,
), temos
com ambos positivos, então o fluxo afasta-se da origem.
– Na reta (segundo e quarto quadrantes), obtemos
,
ou
,
, de modo que o fluxo aponta em direção à origem.
– Na reta
– Na reta
Resposta
a) Sim. O escoamento satisfaz
.
b) A vorticidade é , logo o escoamento é irrotacional somente se
.
c) As linhas de corrente gerais são dadas por
b) A vorticidade é
c) As linhas de corrente gerais são dadas por
As que passam pela origem têm
, i.e.\
sendo que em
o escoamento afasta-se da origem e em
o escoamento aproxima-se da origem.