6.18 As próximas equaçōes foram propostas para representar um escoamento bidimensional e incompressível:
& u=A y & v=B x
onde A e B são constantes positivas. (a) Estas equações satisfazem a conservação da massa? (b) Este escoamento é irrotacional? (c) Determine a equação das linhas de corrente e faça um esboço das linhas que passam pela origem. Indique o sentido do escoamento nestas linhas de corrente.

Passo 1

O enunciado dá um escoamento bidimensional incompressível com
u = A,y, v = B,x
onde A e B são constantes positivas. Precisamos usar:
– a equação da conservação de massa para fluxos incompressíveis ( nablacdotu=0),
– a definição de vorticidade em 2D ( omegaz = partial v/partial x - partial u/partial y),
– e a definição de linhas de corrente (streamlines) via dfracdydx = dfracvu.

Passo 2

Conservação de massa exige
partial upartial x + partial vpartial y = 0
Aqui
partial u/partial x = 0
e
partial v/partial y = 0,
logo
partial u/partial x + partial v/partial y = 0.
Portanto o escoamento satisfaz a conservação da massa.

Passo 3

A vorticidade em 2D é
omegaz = partial vpartial x - partial upartial y
Calculando,
partial v/partial x = B
e
partial u/partial y = A,
logo
omegaz = B - A.
Isso só é zero se e somente se A = B. Em geral, para Aneq B, o escoamento é rotacional; é irrotacional apenas no caso especial A=B.

Passo 4

As linhas de corrente satisfazem
dydx = vu = B,xA,y
Integramos essa equação:
A,y,dy = B,x,dx
A2y^2 = B2x^2 + C
que pode ser reescrito como
A,y^2 - B,x^2 = C

Passo 5

Para as linhas que passam pela origem basta C=0. Assim
A,y^2 - B,x^2 = 0
ou seja
y^2 = BA,x^2 Longrightarrow y = pm raizBA;x

Passo 6

Sentido do escoamento nessas retas:
– Na reta y = +raiztfracBA,x (primeiro quadrante, x>0), temos
(u,v) = (A,y, B,x) com ambos positivos, então o fluxo afasta-se da origem.
– Na reta y = -raiztfracBA,x (segundo e quarto quadrantes), obtemos u<0, v>0 ou u>0, v<0, de modo que o fluxo aponta em direção à origem.

Resposta

a) Sim. O escoamento satisfaz partial upartial x+partial vpartial y=0.
b) A vorticidade é omegaz=B-A, logo o escoamento é irrotacional somente se A=B.
c) As linhas de corrente gerais são dadas por
A,y^2 - B,x^2 = C
As que passam pela origem têm C=0, i.e.\
y = pm raizBA,x,
sendo que em y=+raiztfracBAx o escoamento afasta-se da origem e em y=-raiztfracBAx o escoamento aproxima-se da origem.

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