Para um escoamento tridimensional demonstre e expresse detalhadamente em termos da velocidade e derivadas da velocidade:
A taxa de translação;

Passo 1

Então, o que a questão está pedindo é: num escoamento 3D, a gente deve “demonstrar e expressar detalhadamente em termos da velocidade e derivadas da velocidade” qual é a taxa de translação.
Conteúdo: cinemática de fluídos, mais exatamente a decomposição do movimento de um elemento de fluido em translação, rotação e deformação.
O que vamos usar:
  • o vetor velocidade ;
  • a expansão em série (Taylor) da velocidade em torno de um ponto;
  • a interpretação física de cada termo (translação, rotação, deformação).

Passo 2

Vamos começar fazendo a expansão de Taylor da velocidade em torno de um ponto vi( xP+de. Seja um pontinho no fluido em . Se a gente sai um pouquinho desse ponto ( ), a velocidade lá vale:
Aqui:
  • O primeiro termo, , é o deslocamento “puro” do centro do elemento: chamamos isso de translação.
  • O segundo termo, envolvendo , mistura rotação (parte antissimétrica) e deformação (parte simétrica) do elemento.

Passo 3

Daí, fica óbvio que a taxa de translação — ou seja, a velocidade com que o centro do nosso “elemento de fluido” se desloca — é simplesmente o próprio vetor velocidade no ponto:
boxed Taxa de Translação = v( xP, t) çã
Em componentes cartesianas 3D, se (u,v,w) , então a taxa de translação é

Resposta

A taxa de translação de um escoamento tridimensional, em termos da velocidade e suas derivadas, é apenas o vetor velocidade no ponto de interesse:
Vrm trans( x,t)= v( x,t)

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