Para um escoamento tridimensional demonstre e expresse detalhadamente em termos da velocidade e derivadas da velocidade:
A taxa de translação;
A taxa de translação;
Passo 1
Então, o que a questão está pedindo é: num escoamento 3D, a gente deve “demonstrar e expressar detalhadamente em termos da velocidade e derivadas da velocidade” qual é a taxa de translação.
Conteúdo: cinemática de fluídos, mais exatamente a decomposição do movimento de um elemento de fluido em translação, rotação e deformação.
O que vamos usar:
Conteúdo: cinemática de fluídos, mais exatamente a decomposição do movimento de um elemento de fluido em translação, rotação e deformação.
O que vamos usar:
- o vetor velocidade
; - a expansão em série (Taylor) da velocidade em torno de um ponto;
- a interpretação física de cada termo (translação, rotação, deformação).
Passo 2
Vamos começar fazendo a expansão de Taylor da velocidade em torno de um ponto
. Seja um pontinho no fluido em
. Se a gente sai um pouquinho desse ponto (
), a velocidade lá vale:
Aqui:
- O primeiro termo,
, é o deslocamento “puro” do centro do elemento: chamamos isso de translação. - O segundo termo, envolvendo
, mistura rotação (parte antissimétrica) e deformação (parte simétrica) do elemento.
Passo 3
Daí, fica óbvio que a taxa de translação — ou seja, a velocidade com que o centro do nosso “elemento de fluido” se desloca — é simplesmente o próprio vetor velocidade no ponto:
Em componentes cartesianas 3D, se
, então a taxa de translação é
Resposta
A taxa de translação de um escoamento tridimensional, em termos da velocidade e suas derivadas, é apenas o vetor velocidade no ponto de interesse: