Numa escola A, os alunos submetidos a um teste obtiveram média 70 , com desvio padrão 10. Em outra escola B, os alunos submetidos ao mesmo teste obtiveram média 65 e desvio padrão 15. Se colhermos na escola A uma amostra de 36 alunos e na B, uma de 49 alunos, qual é a probabilidade de que a diferença entre as médias seja superior a 6 unidades?

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos duas populações independentes submetidas ao mesmo teste. Na escola A, a média populacional é \mu_A=70 e o desvio padrão é \sigma_A=10, e vamos tomar uma amostra de tamanho n_A=36. Na escola B, \mu_B=65 e \sigma_B=15, com amostra de tamanho n_B=49. Queremos a probabilidade de
\bar X_A - \bar X_B > 6
e usaremos o Teorema do Limite Central, que diz que a diferença das médias amostrais é aproximadamente normal com média e variância dadas por combinações das populações.

Passo 2

Calcular a média e a variância da diferença \bar X_A - \bar X_B.
A média é
E[\bar X_A - \bar X_B] \;=\;\mu_A - \mu_B \;=\;70-65 \;=\;5.
Como as amostras são independentes, a variância é
\mathrm{Var}(\bar X_A - \bar X_B) =\frac{\sigma_A^2}{n_A}+\frac{\sigma_B^2}{n_B} =\frac{10^2}{36}+\frac{15^2}{49} =\frac{100}{36}+\frac{225}{49} \approx7{,}3696.

Passo 3

O desvio‐padrão da diferença é
\sigma_{\bar X_A - \bar X_B} =\sqrt{7{,}3696} \approx2{,}715.
Padronizando, definimos
Z =\frac{(\bar X_A - \bar X_B)-5}{2{,}715} \sim N(0,1).
Então
P(\bar X_A - \bar X_B>6) = P\!\Bigl(Z>\frac{6-5}{2{,}715}\Bigr) = P\!\bigl(Z>0{,}3683\bigr).

Passo 4

Usando a tabela da normal padrão, \Phi(0{,}3683)\approx0{,}6443. Logo
P(Z>0{,}3683) =1-\Phi(0{,}3683) \approx1-0{,}6443 =0{,}3557.

Resposta

A probabilidade aproximada é 0{,}356 (ou 35{,}6\%).

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