Em uma escola,
professores se distribuem em 8 bancas examinadoras de modo que cada professor participa de, exatamente, duas bancas e cada duas bancas têm exatamente um professor em comum.
Calcule
.
Calcule
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só:
- Há
professores (valor desconhecido que queremos achar). - Existem
bancas examinadoras. - Cada professor participa de, exatamente, duas bancas.
- Cada duas bancas têm exatamente um professor em comum (ou seja, para qualquer par de bancas há exatamente um professor que participa das duas).
- Pergunta: calcular
.
Passo 2
Vamos traduzir a informação em uma correspondência direta que facilita a contagem. Cada professor participa de exatamente duas bancas, então a cada professor podemos associar o par (não ordenado) das duas bancas em que ele participa. Por exemplo, se um professor participa das bancas
e
, associamos a ele o par
.
Passo 3
Agora use a condição “cada duas bancas têm exatamente um professor em comum”. Isso significa que, para qualquer par de bancas
existe exatamente um professor associado a esse par. Portanto:
- A aplicação “professor
par de bancas” é injetora no sentido de que um professor só gera um par (ele participa de duas bancas fixas). - É também sobrejetora em relação ao conjunto de pares de bancas porque cada par de bancas tem algum professor associado (exatamente um, pela condição do enunciado).
Logo há uma bijeção entre o conjunto de professores e o conjunto de pares não ordenados de bancas. Assim,
é igual ao número de pares distintos que se podem formar com
bancas.
Passo 4
O número de pares não ordenados distintos que se pode formar a partir de
elementos é o coeficiente binomial
. A fórmula geral para escolher
elementos dentre
sem ordem é
Aqui, com
,
Passo 5
Calcule a expressão:
Portanto, pela correspondência bijetiva estabelecida,
.
Passo 6
(Alternativa — prova por contagem dupla, para reforçar e você levar pro caderno:)
Contamos o total de “incidências professor–banca” de duas maneiras. Cada professor participa de bancas, então o total de incidências é
. Por outro lado, cada banca está em exatamente um par com cada uma das outras
bancas, e cada par corresponde a um professor, então cada banca tem
professores; o total de incidências é
. Igualando:
Contamos o total de “incidências professor–banca” de duas maneiras. Cada professor participa de
confirmando o resultado anterior.