Em uma escola, x professores se distribuem em 8 bancas examinadoras de modo que cada professor participa de, exatamente, duas bancas e cada duas bancas têm exatamente um professor em comum.
Calcule x.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só:
  • x professores (valor desconhecido que queremos achar).
  • Existem 8 bancas examinadoras.
  • Cada professor participa de, exatamente, duas bancas.
  • Cada duas bancas têm exatamente um professor em comum (ou seja, para qualquer par de bancas há exatamente um professor que participa das duas).
  • Pergunta: calcular x.

Passo 2

Vamos traduzir a informação em uma correspondência direta que facilita a contagem. Cada professor participa de exatamente duas bancas, então a cada professor podemos associar o par (não ordenado) das duas bancas em que ele participa. Por exemplo, se um professor participa das bancas A e B, associamos a ele o par \{A,B\}.

Passo 3

Agora use a condição “cada duas bancas têm exatamente um professor em comum”. Isso significa que, para qualquer par de bancas \{B_i,B_j\} existe exatamente um professor associado a esse par. Portanto:
  • A aplicação “professor \mapsto par de bancas” é injetora no sentido de que um professor só gera um par (ele participa de duas bancas fixas).
  • É também sobrejetora em relação ao conjunto de pares de bancas porque cada par de bancas tem algum professor associado (exatamente um, pela condição do enunciado).
Logo há uma bijeção entre o conjunto de professores e o conjunto de pares não ordenados de bancas. Assim, x é igual ao número de pares distintos que se podem formar com 8 bancas.

Passo 4

O número de pares não ordenados distintos que se pode formar a partir de 8 elementos é o coeficiente binomial \binom{8}{2}. A fórmula geral para escolher 2 elementos dentre n sem ordem é
\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}.
Aqui, com n=8,
\binom{8}{2}=\frac{8\cdot 7}{2}.

Passo 5

Calcule a expressão:
\frac{8\cdot 7}{2}=\frac{56}{2}=28.
Portanto, pela correspondência bijetiva estabelecida, x=28.

Passo 6

(Alternativa — prova por contagem dupla, para reforçar e você levar pro caderno:)
Contamos o total de “incidências professor–banca” de duas maneiras. Cada professor participa de 2 bancas, então o total de incidências é 2x. Por outro lado, cada banca está em exatamente um par com cada uma das outras 7 bancas, e cada par corresponde a um professor, então cada banca tem 7 professores; o total de incidências é 8\cdot 7=56. Igualando:
2x=56\implies x=28,
confirmando o resultado anterior.

Resposta

\;28\;

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