- A partir de um conjunto de a atletas formam-se
times de
atletas cada. Todos os atletas participam de um mesmo número de times e cada par de atletas fica junto no mesmo time um mesmo número de vezes. Determine:
a) de quantos times cada atleta participa;
a) de quantos times cada atleta participa;
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo bem claro):
- Há
atletas no total. - Formam-se
times, cada time com exatamente atletas. - Cada atleta participa do mesmo número de times; vamos chamar esse número de
(é o que a pergunta pede). - Cada par de atletas aparece junto no mesmo time exatamente
vezes.
A pergunta (parte a) é: de quantos times cada atleta participa? Ou seja, determinarem função de (e possivelmente ).
Passo 2
Vou usar a técnica de contagem dupla (contar a mesma quantidade de duas maneiras). Considere o conjunto de pares “(atleta, time)” tal que o atleta participa daquele time. Contando por atletas: cada um dos
atletas aparece em
desses pares, então o total de pares é
Contando por times: cada um dos
times tem
atletas, então o total de pares é
Como essas duas contagens contam exatamente a mesma coisa, temos a igualdade
Explicação rápida do porquê isso é válido: estamos apenas contando quantas “posições” (lugares em times) existem; somando por atletas ou por times dá o mesmo total.
Passo 3
Agora conte, para um atleta fixo
, quantas vezes
aparece emparelhado com algum outro atleta ao longo de todos os times. Contagem pela participação em times:
está em
times e em cada time está junto com
colegas, então o número total de "aparições de pares envolvendo
" é
Contagem pelo número de colegas distintos: existem
outros atletas, e cada um desses aparece com
exatamente
vezes; assim o número de aparições também é
Como as duas contagens medem a mesma quantidade (para o atleta
), elas se igualam:
Isto é uma aplicação direta do princípio que usámos antes: contar o mesmo conjunto (aqui, as ocorrências de pares que envolvem
) de duas maneiras diferentes.
Passo 4
Agora isolamos
na igualdade do passo anterior. Da igualdade
segue
Comentário didático: essa fórmula nos dá o número de times em que cada atleta participa em termos de
. Repare que o resultado deve ser um número inteiro; isso impõe uma condição aritmética natural sobre os parâmetros (ou seja,
deve dividir
). Se for preciso, com a relação do passo 2 podemos também obter
via
.
Passo 5
Um exemplo rápido para fixar a intuição: escolha
,
,
(é o caso clássico do plano de Fano). A fórmula dá
ou seja cada atleta aparece em 3 times; e então
, que é consistente com o exemplo conhecido.