1. A partir de um conjunto de a atletas formam-se t times de k atletas cada. Todos os atletas participam de um mesmo número de times e cada par de atletas fica junto no mesmo time um mesmo número de vezes. Determine:
    a) de quantos times cada atleta participa;

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo bem claro):
  • a atletas no total.
  • Formam-se t times, cada time com exatamente k atletas.
  • Cada atleta participa do mesmo número de times; vamos chamar esse número de r (é o que a pergunta pede).
  • Cada par de atletas aparece junto no mesmo time exatamente \lambda vezes.
    A pergunta (parte a) é: de quantos times cada atleta participa? Ou seja, determinar r em função de a,k,\lambda (e possivelmente t).

Passo 2

Vou usar a técnica de contagem dupla (contar a mesma quantidade de duas maneiras). Considere o conjunto de pares “(atleta, time)” tal que o atleta participa daquele time. Contando por atletas: cada um dos a atletas aparece em r desses pares, então o total de pares é
ar.
Contando por times: cada um dos t times tem k atletas, então o total de pares é
tk.
Como essas duas contagens contam exatamente a mesma coisa, temos a igualdade
ar = tk.
Explicação rápida do porquê isso é válido: estamos apenas contando quantas “posições” (lugares em times) existem; somando por atletas ou por times dá o mesmo total.

Passo 3

Agora conte, para um atleta fixo X, quantas vezes X aparece emparelhado com algum outro atleta ao longo de todos os times. Contagem pela participação em times: X está em r times e em cada time está junto com k-1 colegas, então o número total de "aparições de pares envolvendo X" é
r(k-1).
Contagem pelo número de colegas distintos: existem a-1 outros atletas, e cada um desses aparece com X exatamente \lambda vezes; assim o número de aparições também é
\lambda(a-1).
Como as duas contagens medem a mesma quantidade (para o atleta X), elas se igualam:
r(k-1)=\lambda(a-1).
Isto é uma aplicação direta do princípio que usámos antes: contar o mesmo conjunto (aqui, as ocorrências de pares que envolvem X) de duas maneiras diferentes.

Passo 4

Agora isolamos r na igualdade do passo anterior. Da igualdade
r(k-1)=\lambda(a-1)
segue
r=\frac{\lambda(a-1)}{k-1}.
Comentário didático: essa fórmula nos dá o número de times em que cada atleta participa em termos de a,k,\lambda. Repare que o resultado deve ser um número inteiro; isso impõe uma condição aritmética natural sobre os parâmetros (ou seja, (k-1) deve dividir \lambda(a-1)). Se for preciso, com a relação do passo 2 podemos também obter t via t=\dfrac{ar}{k}.

Passo 5

Um exemplo rápido para fixar a intuição: escolha a=7, k=3, \lambda=1 (é o caso clássico do plano de Fano). A fórmula dá
r=\frac{1\cdot(7-1)}{3-1}=\frac{6}{2}=3,
ou seja cada atleta aparece em 3 times; e então t=\dfrac{ar}{k}=\dfrac{7\cdot3}{3}=7, que é consistente com o exemplo conhecido.

Resposta

r=\frac{\lambda(a-1)}{k-1}

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