- Formam-se as combinações simples de classe 5 dos elementos
, as quais são escritas com os elementos em ordem crescente de índices. Quantas são as combinações nas quais o elemento
ocupa o
lugar?
Passo 1
O enunciado diz: formam-se todas as combinações simples de classe
dos elementos
, escritas com os elementos em ordem crescente de índices. Pergunta-se: quantas dessas combinações têm o elemento
ocupando o
lugar?
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- Estamos escolhendo subconjuntos de tamanho
(combinações) dos elementos. - As combinações são escritas em ordem crescente de índices (ou seja, a posição
é o menor índice escolhido, posição o segundo menor, etc.). - Queremos contar somente as combinações nas quais, na lista ordenada,
aparece exatamente na posição .
Passo 2
Interpretando o que significa
estar na
posição quando os índices estão em ordem crescente: isso implica que, entre os
índices escolhidos, exatamente dois são menores que
e exatamente dois são maiores que
. Porque a terceira posição é o terceiro menor índice do conjunto escolhido, logo devem existir dois índices à esquerda (menores que
) e dois à direita (maiores que
).
Listas dos índices possíveis:
- Índices menores que
: . Há tais índices. - Índices maiores que
: . Há tais índices.
Passo 3
Estratégia de contagem: escolher quais
índices dentre os
menores serão usados (para preencher as posições 1 e 2), e escolher quais
índices dentre os
maiores serão usados (para preencher as posições 4 e 5). Essas escolhas são independentes, então aplicamos a regra do produto: o número total é o produto do número de escolhas para a parte menor pelo número de escolhas para a parte maior.
Passo 4
Contagem usando coeficientes binomiais. Lembrando a definição:
onde
é o fatorial de
(produto dos inteiros
até
). Aqui:
- Número de formas de escolher
índices entre os menores: . - Número de formas de escolher
índices entre os maiores: .
Passo 5
Calcular os binomiais explicitamente de forma simples (sem precisar escrever todos os fatoriais):
Pelo passo 3, multiplicamos esses valores:
Passo 6
Interpretação final e checagem rápida: cada escolha de
índices menores e
índices maiores determina uma única combinação ordenada com
na terceira posição, então não há contagem dupla. O resultado é consistente com a ideia de que há menos escolhas à direita de
(só
índices), o que limita o total.