1. Formam-se as combinações simples de classe 5 dos elementos a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{12}, as quais são escritas com os elementos em ordem crescente de índices. Quantas são as combinações nas quais o elemento a_{8} ocupa o 3^{\circ} lugar?

Passo 1

O enunciado diz: formam-se todas as combinações simples de classe 5 dos elementos a_{1},a_{2},\dots,a_{12}, escritas com os elementos em ordem crescente de índices. Pergunta-se: quantas dessas combinações têm o elemento a_{8} ocupando o 3^{\circ} lugar?
Informações relevantes:
  • Estamos escolhendo subconjuntos de tamanho 5 (combinações) dos 12 elementos.
  • As combinações são escritas em ordem crescente de índices (ou seja, a posição 1 é o menor índice escolhido, posição 2 o segundo menor, etc.).
  • Queremos contar somente as combinações nas quais, na lista ordenada, a_{8} aparece exatamente na posição 3.

Passo 2

Interpretando o que significa a_{8} estar na 3^{\circ} posição quando os índices estão em ordem crescente: isso implica que, entre os 5 índices escolhidos, exatamente dois são menores que 8 e exatamente dois são maiores que 8. Porque a terceira posição é o terceiro menor índice do conjunto escolhido, logo devem existir dois índices à esquerda (menores que 8) e dois à direita (maiores que 8).
Listas dos índices possíveis:
  • Índices menores que 8: 1,2,\dots,7. Há 7 tais índices.
  • Índices maiores que 8: 9,10,11,12. Há 4 tais índices.

Passo 3

Estratégia de contagem: escolher quais 2 índices dentre os 7 menores serão usados (para preencher as posições 1 e 2), e escolher quais 2 índices dentre os 4 maiores serão usados (para preencher as posições 4 e 5). Essas escolhas são independentes, então aplicamos a regra do produto: o número total é o produto do número de escolhas para a parte menor pelo número de escolhas para a parte maior.

Passo 4

Contagem usando coeficientes binomiais. Lembrando a definição:
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! é o fatorial de n (produto dos inteiros 1 até n). Aqui:
  • Número de formas de escolher 2 índices entre os 7 menores: \displaystyle \binom{7}{2}.
  • Número de formas de escolher 2 índices entre os 4 maiores: \displaystyle \binom{4}{2}.

Passo 5

Calcular os binomiais explicitamente de forma simples (sem precisar escrever todos os fatoriais):
\binom{7}{2}=\frac{7\cdot6}{2}=21,
\binom{4}{2}=\frac{4\cdot3}{2}=6.
Pelo passo 3, multiplicamos esses valores:
21\cdot6=126.

Passo 6

Interpretação final e checagem rápida: cada escolha de 2 índices menores e 2 índices maiores determina uma única combinação ordenada com a_{8} na terceira posição, então não há contagem dupla. O resultado é consistente com a ideia de que há menos escolhas à direita de 8 (só 4 índices), o que limita o total.

Resposta

126

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